第９回　触点と閉集合

Aを距離空間Xの部分集合とする。で、Xの点aについて、どんな正の実数εに対して

が成り立つとき、aをAの触点という。Aの触点全体の集合をAの閉包といい、やなどで表す。
で、Aの点はもちろんAの触点なので

となる。

そして、閉包と開核、境界の間∂Aのには
という関係が成り立つ。

ちなみに、

のとき、Aを閉集合という。
さり気なく次の問題を解く。
問題　<X,d>を距離空間、Aをその部分集合とするとき、次のことが成り立つことを示す。

【解】

これを見てわかる奴のほうがどうかしている(^^ゞ
だから、証明はわからなくていい。

なのですが、
（１）は閉集合の補集合は開集合
（２）は開集合の補集合は閉集合
ということを示しているんだ。

これ以上、話を進めると、位相になってしまうんで、これ以上の話はしない。

微分・積分くらいだと、
(a,b)は開集合、[a,b]は閉集合、

は開集合、やは閉集合、

y=f(x)が連続ならば、

、は開集合、
、、は閉集合

と覚えておけばいい。

不等式で表される領域は開集合で、等号がついていれば、閉集合ってことだ。

これで十分だ。
で、開集合の補集合は閉集合と言った。
の補集合はだから、は閉集合。

さらに、との補集合はだから、は閉集合。

そして、この逆もしかりだ。

で、開集合Aと開集合Bの和集合A∪B、積集合A∩Bも開集合になる。
そして、これにド・モルガンの法則を使うと、

になる。

A∪Bは開集合だから、この補集合は閉集合。そして、とも閉集合だから、との交わり、積集合になる。だから、閉集合と閉集合の積集合は閉集合。
どうように、閉集合と閉集合の和集合も閉集合になる。