第２回　単射・全射の定理と逆写像

前回、単射と全射をやった。

f:X→YというXからYへの写像fがあるとき、

単射は

「x、x'∈Xでx≠x'ならばつねにf(x)≠f(x')である」

または

「x、x'∈Xでf(x)=f(x')ならばx=x'である」
だ。

対して全射は、

「任意のy∈Yならばy=f(x)となるx∈Xが存在する」

このことを前置きして、本題。

§１　単射と全射の定理

定理１
X、Y、Zを空でない集合、f:X→Y、ｇ:Y→Zを写像とする。この時、次のことが成り立つ。

１　g○ｆが単射ならば、ｆは単射である。

２　g○fが全射ならば、gは全射である。

　　

【証明】
１　f(x)=f(x')と仮定すると、

　　

となる。

で、g○fは単射なので、x=x'となり、

　　

よって、ｆは単射である。
２　仮定より、g○fは単射なので、任意のz∈Zに対してz=g○f(x) = g(f(x)) となるx∈Xが存在する。
で、y=f(x)∈Yとすると、

　　

となり、gは全射である。
（証明終わり）

§２　逆写像

定理２

f:X→Yを全単射とする。このとき、次のことが成り立つ。

１　任意のy∈Yに対し、y=f(x)となるx∈Xがただひとつ存在する。
２　任意のy∈Yに対し、y=f(x)となるx∈Xを対応させることで、Y→Xなる写像が定まる。すなわち、

 　　

全単射は全射でかつ単射の写像のことで、１対１の対応といわれるもの。

（大学の）数学では、１対１の対応ではなく、全単射という言葉を使う。

fを全単射とすると、
全単射は、全射なのだから任意のy∈Yに対してy=f(x)となるx∈Xが存在する。

y=f(x)、y=f(x')とすると、fは単射なのだから、f(x)=f(x')からx=x'となる。

逆写像の定義から、

　　

となる。

このことから、

　　

としたいところだけれど、これはうるさいことを言うと駄目。

とは定義域と終域が違うので、同じ写像と考えてはいけない。

は定義域、値域ともにX、対してはYなので、写像では違うものと考える。

この違いを明らかにするために、

　　

と書いたりもする。

これはどちらも自分自身に戻ってくるので、恒等写像になっている。

　　

とすると、

　　

になっているから。

問題　X={1, 2, 3},Y={1,2}としてf:X→Yという写像がある。

（１）　写像の個数はいくつあるか。

（２）　全射の個数はいくつあるか

（３）　単射の個数は？
【解】
（１）Xの要素1、2、３ともにYの要素１、２の選び方が２通りあるので、答えは

（２）Xの要素がすべてYの要素である１の２のどちらかに対応している場合を（１）から除けばいいから、8–2=6（３）Xの要素の数がYの要素の数より少ないので、単射は存在しない。
では、Xの要素の数がｍ、Yの個数がｎのとき、どうなる？