第１回　数列とは

§１　数列とは

自然数の全体をNで表わす。つまり、N = {1, 2, 3, ・・・}とする。

このとき、NからR（実数）への写像（関数）

や

を数列（実数列）といい、やと表わす。

関数（写像）だから a(n) と書くこともあるが、慣習的にと書く。

そして、これは、と並べたものと同じものである。

数列の各数を項といい、を初項、を第２項、を第n項という。がnについての式で書かれ、それによって数列が一般的に表わされるとき、を一般項という。

例

一般項を使って、数列を次のように表わすこともある。

この数の列が無限のものを無限数列、有限で終わるものを有限数列と呼んで、

有限で終わる場合、たとえば、

のようなものの場合、項の個数ｋ を項数と呼び、を末項と呼ぶ。

§２　等差数列と等比数列

§２・１　等差数列

 等差数列とは、

一般項が

といった形に書けるもの。このとき、ｄを公差という。

1, 2, 3, ・・・, n, ・・・

や

2, 4, 6, ・・・, 2n, ・・・

1, 3, 5, ・・・, 2n – 1, ・・・

が代表的な例だ。

上の例は、1+1(n–1) , 2 + 2(n–1), 1 + 2(n – 1) となるので、順に初項1 で公差1、初項2 で公差2、 初項1 で公差 2 の等差数列であることがわかる。

ちなみに、

という関係があるので、初項a で公差 d の等差数列の初項から第n項までの和は

となる。

①はぜひ憶えてほしいけれど、②は憶えなくていい。

②を憶えるのならば、

で憶えたほうがいい。

1,2,3,・・・, n という等差数列の初項は1 で末項はn、そして、項数はnだから、①と③がほとんど同じもの（？）だということがわかる。
これは、初項をa、末項をｌとすると

①は、視覚的に

○●●●

○○●●

○○○●

で考えたほうが直観的にわかりやすいと思う。

1 + 2 + 3 = 3×(1+3) ÷2 = 6

になっている。

§２・２　等比数列

等比数列とは

という形の数列で、一般項が

と書ける数列のこと。この時のｒを公比という。

例えば、、

や

もちろん

1, 1, 1, ・・・

も等比数列ではある――これは公差０の等差数列でもある――

初項a で公比がｒの等比数列の和は、

r ≠ 1 ならば

r = 1 ならば、S = n になる。

④は

から出てくる。