第４回　像の性質

　

A、B、Cを集合とする。
集合の基本的性質として、次のものがある。

（１）　A⊂A（２）　A⊂B、B⊂CならばA⊂C

（３）　A∩B⊂A、A∩B⊂B

（４）　A⊂A∪B、B⊂A∪B

知っているとは思うけれど、念のため、
A∩B={x|x∈Aかつx∈B}

で

A∪B={x|x∈Aまたはx∈B}のことです。
証明はいらないと思うけれど、（３）だけやってみることにする。
x∈A∩Bとすると、「x∈Aかつx∈B」となり、x∈Aである。

つまり、

x∈A∩B⇒x∈A

となり、

A∩B⊂A

である。

A∩B⊂Bも同様。

問題１　（４）を証明せよ。
【証明】
x∈Aならば「x∈Aまたはx∈B」は成立する。

だから、

x∈Aならば「x∈Aまたはx∈B」となり、

A⊂A∪Bとなる。

B⊂A∪Bも同様。
（証明終わり）
では、次。
（５）　A⊂BかつA⊂Cならば、A⊂B∩C（６）　A⊂CかつB⊂Cならば、A∪B⊂C（５）と（６）の証明は、ベン図を書くなり、好きなように証明して欲しい。
では、いよいよ、本題。

f:X→Y、A⊂X、B⊂Xとする。
（Ⅰ）　A⊂Bならばf(A)⊂f(B)

（Ⅱ）　f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)

（Ⅲ）　f(A∪B）＝f(A)∪f(B)

（Ⅰ）はほとんど明らかだから、証明はしない。
（Ⅱ）の証明は、この（Ⅰ）と（３）、（５）を使う。
A∩B⊂Aだから、（Ⅰ）より

f(A∩B)⊂f(A)

同様に、

f(A∩B)⊂f(B)。

したがって、（５）より、f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)。
（Ⅲ）の証明は以下の通り。

【Ⅲの証明】

f(A)∪f(B)⊂f(A∪B)の証明

（４）より

A⊂A∪B、B⊂A∪B。

（Ⅱ）より

f(A)⊂f(A∪B)、f(B)⊂f(A∪B)

となり、さらに、（Ⅰ）より、

f(A)∪f(B)⊂f(A∪B)

f(A∪B)⊂f(A)∪f(B)の証明

y∈f(A∪B)とは、y=f(x)を満たすx∈A∪B、つまり、「x∈Aまたはx∈B」を満たすxが存在するということ。
x∈Aならば、y∈f(A)となり、

y∈f(A)∪f(B)。

x∈Bならば、y∈f(B)となり、

y∈f(A)∪f(B)。

よって、

f(A∪B)⊂f(A)∪f(B)

となる。

以上のことから、

f(A)∪f(B)⊂f(A∪B)かつf(A∪B)⊂f(A)∪f(B)

となり、

f(A∪B）＝f(A)∪f(B)