第７回 導関数の性質

第７回　導関数の性質

導関数の定義

区間Iで定義された関数f(x)がIのすべての点で微分可能であるとき、f(x)はIで微分可能であるといい、

をf(x)の導関数という。

定理１４　（和・積・商の導関数）

関数f(x)、g(x)を区間Iで微分可能ならば、λf(x)+μg(x)（λ、μは実数）、f(x)g(x)はIで微分可能で

g(x)≠0のとき、f(x)/g(x)はIで微分可能で

［証明］

（１）　h≠0のとき

（２）　h≠0のとき、仮定よりg(x)はIで微分可能だからIで連続（）なので、

（３）　h≠0でg(x)≠0のとき、

上の結果と（３）より

（証明終）

定理１５　（合成関数の微分）

関数y=f(x)は区間Iで微分可能、z=g(y)は区間J（f(I)⊂J）とする。このとき、合成関数はJ上で微分可能であり、

すなわち

［証明］

示すべきことは、F(x)=g(f(x))とおき、すべての点a∈Iで

b=f(a)（a∈I）とおき、y∈J上の関数φ(y)を

と定めると、g(y)はJ上で微分可能だからJ上で連続である。同様にf(x)もI上で連続だから、φ(f(x))もI上で連続で、

である。

φ(y)の定義より、点bの近傍で

だから、y=f(x)とおくと、

よって、

したがって、

（証明終）

x≠aのとき、f(x)=f(a)、つまり、f(x)–f(a)=0になる場合があるので、 一般に

と変形することはできない。

したがって、x≠aのとき

といった証明は許されない。

例えば、

g(y)=y（y∈R）としたとき、点a>0の場合を考えよ。このとき、点aの近傍ではf(x)=f(a)=0である。

点aの近傍でf(x)≠f(a)であるならば、y=f(x)、b=f(a)とおくと、x→aのとき、y→bでg(y)→g(b)となり、

したがって、

といった証明が許される。

定理１６　（逆関数の導関数）

関数y=f(x)は区間Iで狭義単調であるとする。f(x)がIで微分可能でつねにf'(x)≠0ならばf(I)で微分可能で

つまり、

である。

［証明］

f(x)はI上で狭義単調だから、x≠a（x,a∈I）⇔f(x)≠f(a)（f(x)、f(a)∈f(I)）。

y=f(x)、b=f(a)とおくと、x≠a⇔f(x)≠f(b)だから

また、y→bのときx→aだから、

よって、f⁻¹(y)はy=bで微分可能である。

（証明終）

定理１７　（媒介変数・パラメータで表された関数の導関数）

x=f(t)、y=g(t)は区間Iで微分可能でf'(t)≠0とする。x=f(t)に逆関数が存在すれば、

である。

［証明］

仮定より、x=f(t)には、逆関数t=f⁻¹(x)が存在して微分可能。したがって、となり、

合成関数と逆関数の微分より

（証明終）

分数同士のの掛け算のように

と考えるとわかりやすい。