第１回 関数の極限１

第１回　関数の極限1

高校の関数の極限の定義は、例えば次のようなものである。

高校の関数の極限の定義

aの近くで定義された関数f(x)において、xがaとは異なる値をとりながらaに限りなく近づくとき、f(x)がある一定の値αに限りなく近づく場合、

または

と書き、この値αをx→αのときのf(x)の極限値という。

このとき、次の関数のように、関数は必ずしもx=aで定義されている必要はない。

この関数f(x)は、x≠aのとき

となるので、x→aのときのf(x)の極限値は

である。

なのだが、上述の関数の極限の定義は、xがaに限りなく近づくという表現が曖昧ということで、大学数学においては、例えば、次のように関数の極限が定義される。

大学の関数の極限の定義

aの近くで定義された関数f(x)において、任意の正数εに対して、適当な正の数δをとると、

が成り立つとき、

または

で表し、x→aのときf(x)はαに収束するという。また、αをx→aのときのf(x)の極限値という。

そして、この関数の極限の定義が、悪名高いε-δ論法と呼ばれるもので、記号∀、∃を用いて

と簡潔に表現したりする。

問１　ε-δ論法を用いて、次のことを証明せよ。

【解】

（１）　任意の正数ε>0に対して、δ=ε/2にとると、

よって、

（２）

0<｜x–1｜<δ≦1にとれば

したがって、3δ≦ε、すなわち、δ≦ε/3にとればよい。

よって、任意の正数εに対して

にとれば、

よって、

（２）の別解

0<｜x–1｜<δのとき

だから、

とおき、これを解くと

したがって、任意の正数εに対して

とδをとると、

となり、よって

（解答終）

問２　ε-δ論法を用いて、次のことを示せ。

【略解】

（１）

だから、0<δ≦1にとれば

したがって、任意の正数εに対して

となるようδをとればよい。

（２）

だから、0<δ≦1にとれば

したがって、任意の正数εに対して、

とδをとればよい。

（略解終わり）