第８回 導関数に関する定理

第８回　導関数に関する定理

定理１８

関数f(x)は開区間Iで微分可能とする。点c∈Iにおいて最大値、または、最小値をとるならば、f'(c)=0である。

［証明］

f(x)が点cで最大値をとるものし、区間Iの任意の点をxとする。

f(x)は点cで最大だから、

x<cのとき

x>cのとき

f(x)は点cで微分可能だから

が存在し、でなければならない。

よって、f'(c)=0である。

f(x)が区間内で最小値をとるときも同様に証明できる。

（証明終）

開区間ではなく閉区間の場合、上の定理は必ずしも成立しない。

この関数の場合、閉区間[−1,1]の端点x=±1で最大値1をとるがf'(x)=2xだからf'(−1)=−2≠0、f'(1)=2≠0で上の定理は成立しない。

x=0のときf(x)は最小値0をとる。x=0は開区間(−1,1)の点だからf'(0)=0で、上の定理が成り立っている。

また、

は、x=0で最小値0をとるが、f'(0)は存在しない。これは、f(x)が開区間(−1,1)で連続であるが、x=0で微分可能ではなく、したがって、f(x)が(−1,1)で微分可能でないためである。

さらに、

は、(-1,1)で微分可能で、導関数f'(x)=3x²だからf'(0)=0となるが、f(0)はf(x)は最小値でも最大値でもない。だから、「f'(c)=0ならばf(x)はx=cで最大または最小である」は一般に整理しない。

定理１９　（ロールの定理）

f(x)は[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能とする。このとき、f(a)=f(b)ならば

となるcが少なくとも１つ存在する。

［証明］

f(x)は閉区間[a,b]で連続だから、連続関数の最大値・最小値の定理より、f(x)は[a,b]で最大値、最小値をとる。

f(x)が定数の場合、常にf'(x)=0だから、定理は成立。

f(x)が定数でない場合、最大値と最小値の一方はf(a)=f(b)と異なる。これをf(c)とすると、c≠a、c≠bだから、a<c<b。

条件よりf(x)は開区間(a,b)で微分可能で、かつ、(a,b)で最大値または最小値を持つので、上の定理より

となるcが少なくとも１つ存在する。

（証明終）

定理２０　（平均値の定理）

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能であるならば

となるcが少なくとも１つ存在する。

［証明］

とし、

とする。

g(x)は[a,b]っで連続、(a,b)で微分可能であり、g(a)=g(b)=0である。よって、ロールの定理より

となる点cが存在する。

したがって、

となる点cが存在する。

（証明終）

とおくと、0<θ<1となり、平均値の定理を次のように書き換えることができる。

さらに、h=b−aとおくと

定理２１

f(x)、g(x)を区間Iで微分可能な関数とする。f'(x)がIでつねに０であるならば、f(x)は定数である。Iでつねにf'(x)=g'(x)ならば、f(x)−g(x)はIで定数である。

【証明】

a∈Iである点aを一つとる。

平均値の定理より、x∈Iの任意の点aに対して、aとxの間に

となる点cが存在する。

c∈Iだから条件よりf'(c)=0で、

よって、f(x)はIで定数である。

h(x)=f(x)−g(x)とおくと、Iでh(x)は微分可能。

Iでつねにf'(x)=g'(x)だから

h'(x)はIでつねに０である。

よって、h(x)=f(x)−g(x)は定数である。

（証明終）

定義

f(x)は区間Iで定義される関数とする。

x₁、x₂をIに属する任意の２数としx₁<x₂とするとき、

f(x₁)<f(x₂）であればf(x)は区間Iにおいて単調増加関数または増加関数といい、

f(x₁)<f(x₂）であればf(x)は区間Iにおいて単調減少関数または減少関数という。

定理２２　関数f(x)が区間[a,b]で連続、区間(a,b)で微分可能であるとき、区間(a,b)において

（ⅰ）　常にf'(x)>0ならば、f(x)は区間[a,b]で増加関数

（ⅱ）　常にf'(x)<0ならば、f(x)は区間[a,b]で減少関数

である。

［証明］

a≦x₁<x₂≦bとすると、仮定より、f(x)は閉区間[x₁,x₂]で連続、開区間(x₁,x₂)で微分可能である。したがって、平均値の定理より

となるcが少なくともⅰつ存在する。

f'(c)>0のとき、

同様に、f'(c)<0のとき、f(x₂)<f(x₁)。

（証明終）

定理２３　コーシーの平均値の定理

f(x)、g(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能、さらにg'(x)=0ならば

であるcが存在する。

【証明】

とおき、

とする。

h(x)は、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能、かつ、h(a)=h(b)=0。

ロールの定理より

となるcが存在する。

g'(x)はa<x<bでg'(x)≠0だから、g'(c)≠0。

よって、

である。

（証明終わり）