第１０回 テーラーの定理とテーラー展開、マクローリン展開

第１０回　テーラーの定理とテーラー展開、マクローリン展開

定理２５　テーラーの定理

関数f(x)は閉区間[a,b]でn−1回連続微分可能、開区間(a,b)でn回微分可能ならば

となるcが少なくとも１つ存在する。

［証明］

となるようにKを定め、

とおくと、F(a)=F(b)となる。

F(x)は[a,b]で連続、(a,b)で微分可能であり、F(a)=F(b)だからロールの定理よりF'(c)=0 となるcがa<c<bに少なくとも１つ存在する。

F(x)を微分すると、

したがって、

（証明終了）

n=1とすると、平均値の定理が得られる。

極値の判定などで重要なn=2のときは以下のようになる。

b=x、と置き、（１）式を書き直すと

となり、をLagrange（ラグランジュ）の剰余項という。

fが級ならばすべての非負の正数nについて（１）は成り立ち、

である点xでは

となり、この級数をx=aまわりのテーラー級数という。

特に、a=0のときに得られるx=0まわりのテーラー級数

をマクローリン級数という。

以下に代表的なマクローリン級数を示す。

関数f(x)が

とべき関数の級数として展開されるとき、これはテーラー展開（マクローリン展開）に他ならない（テーラー展開の一意性）ことが知られている。

だから、

にx=–tを代入すると、

になるので、のマクローリン級数を

と求めることができる。

同様に、

と、のマクローリン級数を利用してのマクローリン級数を簡単に求めることができる。