第１３回 推定

第１３回　推定

§１　母平均の推定

標本平均を用いると、標本調査から母集団の平均値を推定することができる。

いま、母集団からn個の標本を抽出し、標本平均、標本標準偏差sを得たとする。

母集団の平均をm、標準偏差をσとすると、標本平均の分布は、平均m、標準偏差の正規分布と考えてよいから、

は、標準正規分布N(0,1)に従い、正規分布表から

である。

したがって、９５％の確実性で

nが大きければ、母集団の標準偏差σは標本標準偏差sに近いと考えてよい。

したがって、

このとき、上式が成立する確率は0.95だから、これを信頼度９５％の推定という。

このとき、mが取りうる範囲を信頼区間といい、確率９５％を信頼度という。

同様に、９９％の信頼区間は

である。

問１　全国の中学３年男子から２０００人を抽出し、その身長を調べたところ、平均値が161.5cm、標準偏差が6.5cmであった。信頼度９５％で全国の中学３年男子の身長を推定せよ。

【解】

母集団の平均値をmとする。標本平均、s=6.5(cm)、n=2000だから

よって、161.5±0.28cmである。

（解答終了）

問２　ある都市の１６歳の男子の中からまったく無作為に２００人を抽出して、身長に関する下表のような度数分布を得た。これによって、この都市の１６歳の男子の平均身長を信頼度９５％で推定せよ。

身長(cm)	145〜150	150〜155	155〜160	160〜165	165〜170	170〜175	175〜180	180〜185	計
人数	2	4	28	58	66	32	8	2	200

（解答）

上の表から標本平均、標本標準偏差s=√36=6(cm)。

n=200だから

ここで、

だから、165.5±0.8cm（164.7〜166.3cm）

（解答終了）

問３　ある市の高校３年生４万人に数学のテストを行った。この成績を母集団として、大きさ９００の標本を選んだところ、その平均値が58.6点、標準偏差が12.0点であった。母集団の平均値を95％の信頼度で推定せよ。

【解】

標本平均、標本標準偏差s=12.0、標本の大きさn=900だから、母集団の平均値をmとすると、

だから、57.8〜59.4点。

（解答終了）

問４　過去の資料によると、１７歳男子の分布は、標準偏差5.8kgであることが知られている。９５％の信頼度で１７歳男子の平均体重を0.1kgの精度で求めるためには、何人の任意標本を選んだらよいか。

【解】

９５％の信頼度の誤差は

だから、

になるように標本の大きさnを定めればよい。

よって、

したがって、約13,000人。

（解答終了）

n≧113.68²ではなく、n≧114²=12996としたほうがいいのかもしれないが・・・。

§２　母比率（母集団比率）の推定

工場で作られた製品の不良率を標本調査することによって９５％の信頼度で推定すると場合について考えることにする。

母集団の製品全体の不良率をp、大きさnの標本中に含まれる不良品の個数を確率変数Xとすると、Xの分布は平均np、標準偏差の２項分布となる。

nが大きいとき、二項分布B(n,p)は正規分布とみなすことができるので、不良品の個数Xは、信頼度９５％をもって

となる。

また、標本の不良率は

だから、

nが大きいとき、根号内のpはに代用できるので、

となる。

以上のことをまとめると、次のようになる。

比率の推定

大きさnの標本中に、条件Aを満たすものがr個あれば、標本比率

に対して、母集団における条件Aを満たすものの比率は

の信頼区間にある。

なお、信頼度９９％ならば

である。

問１　ある工場で、製品の中から任意に２００個を抽出して調べたところ、３０この不良品があった。製品全体の不良率pを、信頼度９５％で区間推定せよ。

【解】

よって、信頼度９５％で

（解答終了）

問２　ある新聞の世論調査で、有権者１０００人についてある政党を支持するか否かについて調べたところ、そのうちの５７６人が支持者であった。有権者全体のうちその政党を支持するものの割合を、信頼度９９％で推定せよ。

【解】

（解答終了）

信頼度９５％ならば