第２回 広義積分の計算例

第２回　広義積分の計算例

問題１　次の広義積分の値を求めよ。

【解】

（１）　t>0とすると

したがって、

（２）　t>eとすると

ロピタルの定理より

よって、

（３）　t>1とすると

ここで、

だから、

（解答終了）

なお、

は、−x²=sとおき、置換積分を用いると

問題２　次の広義積分は収束するか。収束するならば、その値を求めよ。

【解（？）】

（解答？終了）

と、解いてはいけない。

何故ならば、x=0では連続でなく、公式

を使えないからだ。

（１）は、−1<s<0、0<t<1とすると

の意味であり、

で、ともに発散し有限の値をもたないのでは発散する。

また、0<t<1として

と計算することもできないので注意！！

何故だろうか？

問題３　次の広義積分は収束するか。収束するならば、値を求めよ。

【解】

（１）　α=1のとき

0<t<1とすると、

だから

α≠1のとき

0<t<1のとき

ゆえに、

（２）　α≠1のとき

α=1のとき

（３）

と考える。

s>0とすると

t>0とすると

したがって、

（解答終了）

問題３の（１）、（２）の結果をまとめると、次のようになる。

定理　αを実数とする。

（１）　広義積分が収束する必要十分な条件はα<1である。

（２）　広義積分が収束する必要十分な条件はα>1である。