2017年1月31日火曜日

第8回 ベータ関数入門2 ベータ関数の重要な性質

第8回 ベータ関数入門2 ベータ関数の重要な性質


まず、ベータ関数の定義を与える。

定義
p>0q>0に対して
で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、ベータ関数には次の重要な性質がある。

定理 ベータ関数B(p,q)は次の性質を満たす。
(1) 任意のp>0q>0に対して
(2) 任意のp>0q>0に対して
(3) 自然数mnに対して
【証明】
(1) t=1−xとおくと、x=0t=1x=1t=0に対応し、
だから、(1)を置換積分すると、

(2) 1=x+(1−x)だから
である。
したがって、
0<s<t<1とおき、次の積分を部分積分すると
また
だから、
したがって、

(3) (2)より
また、
だから、
(証明終了)

nを自然数とするとき、ガンマ関数には次の性質がある。
上の定理の(3)にこの関係を適用すると、
この関係が自然数mnだけでなく、正の実数pqに対して
が成立するかどうかだ。


定理 p>0q>0に対して
である。
【証明】
したがって、
ここで、x=rcosθy=rsinθとおき極座標変換をすると、
となり、積分領域が
と変わるので、
【証明終了】

上記の定理中の
というベータ関数とガンマ関数の関係式は、定積分の計算に活用できる非常に便利で強力な公式である。
たとえば、
という定積分はベータ関数のp=4q=5の場合だから、
と、積分の計算をすることなく、簡単な階乗の計算で定積分の値を求めることができる。
のみならず、ベータ関数を用いることにより
であることを簡単に証明できる。
m=1n=1のとき
この公式は、大学入試の重要公式である。

ベータ関数
に対して
として置換積分を適用すると、
0<a<1とし、p=aq=1−aとおくと
複素解析から右辺の広義積分は
したがって、

a=1/2を(4)に代入すると

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