無限大、無限小などの問題

無限大、無限小などの問題

問題１　x→0+0のとき、次の無限小を小さい方から順に並べよ。

【解】

だから、sinxはxと同位の無限小。

よって、x²logxはxより高位の無限小。

x=0のごく近くでは

だから

t=1/xとすると、x→0+0のときt→+∞だから

したがって、はx²logxよりも高位の無限小である。

以上のことより

の順である。

（解答終了）

定数倍の違いを無視したとき、高位の無限小は低位の無限小よりも早く０に収束する。

このことは、上のグラフをよくわかると思う。

ちなみに、y=xはy=sinxのx=0における接線である。

問題２　x→無限大のとき、次の無限大を小さい順から並べよ。

【解】

よって、√xはx/logxよりも低位の無限大。

だから、log(logx)は√xよりも低位の無限大。

したがって、

（解答終了）

感覚的に言うと、これはどちらが早く、勢い良く±∞に発散するかを考えればよい。

微妙なのですが、グラフを見ると、このことがわかるのではないか。

ちなみに、ロピタルの定理を使うと

ロピタルの定理を使わないのならば、t>0とし

また、x≧1のとき、log(logx)≧1、logx<xだから

したがって、ハサミ打ちの定理より

になる。

問題３　次の関数のx→0のときのxに対する無限小を求めよ。

【解】

よって、２位の無限小である。

（解答終了）

ランダウ記号（Landauのo）を用いて解くと次のようになる。

【別解】

マクローリン展開より

したがって

よって、xに対する２位の無限小である。

（別解終了）

上の計算では次のランダウ記号の演算規則を使用している。

問題４　マクローリンの定理を使って次の極限を求めよ。

【解答】

（１）　マクローリンの定理より

したがって、

（２）　マクローリンの定理より

よって、

（解答終了）