第２回　数列の極限

高校数学などは、数列の極限は次のように定義される。

数列において、番号n を限りなく大きくするとき、がある定数a に限りなく近づくのであれば、これを

や

という記号で表わし、この場合、数列はa に収束するという。また、a を数列の極限値という。

しかし、「限りなく大きくする」や「限りなく近づく」という表現は、あまりに曖昧すぎる。

だから、次の定義を採用することにする。

数列に対し次の条件を満たすa ∈ R が存在するとき、数列は収束するという。

任意のε > 0 に対してある自然数mが存在して、n ≧ m を満たす任意のn ∈ N に対してである。

このときa を数列の極限値という。

また、を収束数列という。収束数列でない数列を発散数列という。

論理記号で書くと

や

とかく。

たとえば

という数列があった場合、

になる。

ε = 0.1だったら、

になるので、

n ≧ m = 11 にすればいい。ε = 0.01 ならば、n ≧ m = 101 といった具合にすればいい。m を11 や 101 にしているけれど、これは別に12 でも 123 でも構わない。
εを与えると、それによってｍの値が決まり、n ≧ m のすべてのn に対して

が成立するというのがミソ。

このことを明示するために、

と書くこともある。

しかし、

という一般項で表される数列に対して、

ε = 2 として、すべての自然数n に対して

なるので、この数列の極限値は1としてはいけない。

εはε > 0 の任意の実数だから、0.1や0.01といった値でも成立しないといけない。

ちなみに、この数列に極限値は存在しないケロ。

となるので。

定理１　（極限値の一意性）

数列の極限は、存在すれば、ただ一つである。

【証明】

a と異なるｂ (b > a)という極限値が存在すると仮定する。

すると、極限の定義より

になるにゃ。

だから、n ≧ m ならば

εは任意の正の実数なので、ε = (b–a)/2 とすると、

②より

そして、③より

となり、

となってしまう

これは矛盾である。

a > bの時も同様。

よって、極限値はただ１つである。

なお、細かいところまで気になる人は、

①を

として、

とすればよい。

ここで、記号max{x,y}は、xとyで小さくない方の値を表わす。

この説明は、次回、

の証明の時に詳しく説明する。

問題　次のことを証明せよ。

【略解】

になる。

で、三角不等式より

になるので、

である。

（解答終わり）

宿題　次のことを証明せよ。

かつ

ならば、a ≧ 0 である。

【ヒント】

a < 0 と仮定し、ε = –a/2 とすると、

My Favorite Song:境界の彼方

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最大最小の問題

最大最小の問題

定理　連続な関数の最大、最小値の定理

閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は、必ず、最大値と最小値をもつ。

関数f(x)が最大・最小になる点の候補は、極値をとる点、区間の両端、そして、微分可能でない点など。特に、区間の両端に注意！！

問題１

（１）　1≦x≦3のとき、関数

の最大値、最小値を求めよ。

（２）　0<x<πのとき、関数

の最小値を求めよ。

【解】

（１）

増減表をかくと

x	1	…	√2	…	3
f'(x)		+	0	−
f(x)	1	増加	極大	減少	9/10

x=√2のときに最大値f(√2)=6(3−2√2)

x=3のときに最小値9/10

（２）

増減表を書くと

x	0	…	π/3	…	π
y'		−	0	＋
y		減少	極小　√3	増加

x=π/3のとき、最小値√3

（解答終了）

問題２　x>0のとき

の最小値を求めたい。

（１）　とおき、Pをtの関数として表しなさい。

（２）　その結果を用いてPの最小値ならびにそのときのxの値を求めなさい。

【解】

の分母・分子をx²で割ると

で、

よって、

x>0のとき、相加平均≧相乗平均より

したがって、

（２）

これをtで微分すると、

 

したがって、Pは単調増加。

よって、t=2のとき最小で、最小値3/2。

の解は1だから、

x=1のとき、Pは最小で、最小値は3/2である。

（解答終了）

ちなみに、

のグラフは右図の通り。

問題３　関数

について、次の問に答えよ。

（１）　sinx=tとおいて、yをtの式で表せ。

（２）　yを最大にするxの値はいくらか。

【解】

（１）

 

だから、

（２）

増減表を書くと、

x	−1	…	1/2	…	1
y'		＋	0	−
y	-7	増加	極大　13/2	減少	1

よって、x=1/2のときに、yは最大になる。

を解くと

（解答終了）

問題２、問題３のように、変数を変換することによって、最大・最小値を求めることが楽になる場合がある。ただし、問題２、

３のように変数の範囲、定義域が変化することに注意が必要。

問題４　第１象限の定点P(a,b)を通る直線と両軸の正の部分との交点をA、Bとするとき、△OABの面積の最小値を求めよ。ただし、Oは原点とする。

【解】

定点P(a,b)をとおる直線の傾きをm（m<0）とすると、この直線の方程式は

したがって、Aのx座標は

Bのy座標は

よって、△OABの面積Sは

ここで、

とおき、mで微分すると、

したがって、f(m)は

のとき、極大。

したがって、Sはこの時に極小、最小になる（f(m)とSは正負が逆転しているから）。

このとき、x=2a、y=2bとなり、最小値は

また、このとき、PはA(2a,0)、B(0,2b)の中点である。

（解答終了）

こう解いたものの、この解答は直観的に良くないね。

相似を使って、解くことにする。

【別解】

A、Bの座標をそれぞれ(x,0)、(0,y)とし、P(a,b)からx軸におろした垂線の足をHとする。

△AHP∽△AOBだから

したがって、△OABの面積Sは

これをxで微分すると、

したがって、x=2aのとき、極大かつ最大になる。

よって、面積の最大値は

このとき、y=2bだから、点P(a,b)はA(2a,0)、B(0,2b)の中点である。

【解答終了】

解答のわかりやすさで雲泥の差があるようだ。

悪い解答例として、問題３の【解】は、そのまま残しておくことにする。