第２回　数列の極限

高校数学などは、数列の極限は次のように定義される。

数列において、番号n を限りなく大きくするとき、がある定数a に限りなく近づくのであれば、これを

や

という記号で表わし、この場合、数列はa に収束するという。また、a を数列の極限値という。

しかし、「限りなく大きくする」や「限りなく近づく」という表現は、あまりに曖昧すぎる。

だから、次の定義を採用することにする。

数列に対し次の条件を満たすa ∈ R が存在するとき、数列は収束するという。

任意のε > 0 に対してある自然数mが存在して、n ≧ m を満たす任意のn ∈ N に対してである。

このときa を数列の極限値という。

また、を収束数列という。収束数列でない数列を発散数列という。

論理記号で書くと

や

とかく。

たとえば

という数列があった場合、

になる。

ε = 0.1だったら、

になるので、

n ≧ m = 11 にすればいい。ε = 0.01 ならば、n ≧ m = 101 といった具合にすればいい。m を11 や 101 にしているけれど、これは別に12 でも 123 でも構わない。
εを与えると、それによってｍの値が決まり、n ≧ m のすべてのn に対して

が成立するというのがミソ。

このことを明示するために、

と書くこともある。

しかし、

という一般項で表される数列に対して、

ε = 2 として、すべての自然数n に対して

なるので、この数列の極限値は1としてはいけない。

εはε > 0 の任意の実数だから、0.1や0.01といった値でも成立しないといけない。

ちなみに、この数列に極限値は存在しないケロ。

となるので。

定理１　（極限値の一意性）

数列の極限は、存在すれば、ただ一つである。

【証明】

a と異なるｂ (b > a)という極限値が存在すると仮定する。

すると、極限の定義より

になるにゃ。

だから、n ≧ m ならば

εは任意の正の実数なので、ε = (b–a)/2 とすると、

②より

そして、③より

となり、

となってしまう

これは矛盾である。

a > bの時も同様。

よって、極限値はただ１つである。

なお、細かいところまで気になる人は、

①を

として、

とすればよい。

ここで、記号max{x,y}は、xとyで小さくない方の値を表わす。

この説明は、次回、

の証明の時に詳しく説明する。

問題　次のことを証明せよ。

【略解】

になる。

で、三角不等式より

になるので、

である。

（解答終わり）

宿題　次のことを証明せよ。

かつ

ならば、a ≧ 0 である。

【ヒント】

a < 0 と仮定し、ε = –a/2 とすると、