第１２回 実数の位相的性質

第１２回　実数の位相的性質

fを実数Rで連続な関数とする。y>f(x)を満たす点(x,y)の集まりAは開集合である。

これを証明してみよう。

【証明】
2ε=y–f(a)>0とする。

fは連続なので、

となるδが存在する。

とすると、

ここで、

（証明終わり）

（※）　このように開球の半径ε’をとれば、図に示すように、Aの中に収まる。

図の場合、ε<δであるが、ε≧δの場合もあるので、このように開球の半径ε'を取らないといけない。

同様に、fが連続であれば、y<f(x)の満たす点(x,y)の集まりも開集合になる。
開集合と開集合の和集合は開集合なので、y≠f(x)を満たす点(x,y)の集まりも開集合。
そして、y=f(x)を満たす点の集まりはこの補集合なので、閉集合になる。

開集合と開集合の和集合が開集合になることの証明は、

とする。すると、となるλ∈{1,2}が存在し、

ε>0が存在することになり、開集合となる。

もっと一般化し、という集合族の和集合の時は

として、これは和集合の定義よりとなるλ∈Λが存在し、

となるε>0が存在するので、開集合となる。

何が書かれているかわからないと思うけれども、開集合と集合族の和集合の定義から、こうなるんだ。

また、開集合と開集合の共通部分が開集合になることは、

とすると、とは開集合なので

となる正の数が存在する。
で、例のお決まりの

とすると、

になるので、

より、aはの内点となり、は開集合である。
では、これを一般化してが開集合のときは開集合になるかというと、これはならない。

たとえば、

として、

を求めると、これは前にやったと思うけれど、

という一点集合になって、閉集合になってしまう。

だから、これは一般に成立しない。

だけれども、Λ={1,2,3,・・・,n}で、Λが有限集合の場合、

は開集合になる。

全体の集合（普遍集合）を実数Rとする。
x∈Rとすると、これは開球(x–1,x+1)⊂Rとなるから、 実数Rは開集合になる。

で、さらに空集合∅を開集合と定義すると、次の定理が成り立つ。
定理

（１）　空集合、実数Rは開集合である。
（２）　任意の有限個の開集合の共通部分は開集合である。

（３）　開集合の族の和集合は開集合である。
これは実数のみならず、たとえば、n次元のユークリッド空間でも成り立つ性質だ。

そして、これをさらに一般化して、開集合系というもの、まぁ公理だね、を展開することもできるのであった。
大切なのは上の定理だから、上の定理だけ覚えていただければ十分。