第１３回 ド・モルガンの法則

第１３回　ド・モルガンの法則

論理のド・モルガンの法則

この証明は、

真偽表を書けばいい。

（１）は右の表のようになる。

¬(p∧q)と¬p∨¬qの真偽表は一致する。よって、

となる。
（２）下の表のようになり、真偽表が一致するし、
となる。

¬は命題の否定をあらわし、∧は「かつ」で命題の連言、∨は「または」で命題の選言を表す記号だ。
そして、Tは英語の「True」の略で「真」を意味し、Fは英語の「False」の略で「偽」を表す。
で、この論理のド・モルガンの法則を使うと、集合のド・モルガンの法則が簡単に証明できる。
集合Aの補集合は

のこと。

だから、

 

そして、

よって、

となる。
前回、AとBが開集合ならば、その共通部分A∩Bと和集合A∪Bも開集合となるというのをやった。
そして、閉集合は開集合の補集合だというのも前にやった。
だから、AとBが開集合ならば、その共通部分A∩Bと和集合A∪Bも開集合なので、

は閉集合になり、ド・モルガンの法則から

となり、閉集合の共通部分、和集合も閉集合となる。

さらに一般的に書くと、

となり、
前回やった定理とこの結果を用いると、

定理

（１）　空集合∅、実数Rは閉集合である。
（２）　任意の有限個の閉集合の和集合は閉集合である。

（３）　任意の閉集合の共通部分は閉集合である。

となる。

この定理は、開集合の方から導いたんだけれど、この定理と閉集合をもとにして導くこともできる。
　

の右辺から左辺の流れにするだけなので。