第５回 １次変換と行列

第５回　１次変換と行列

§１　１次変換と行列

(x,y)に対応する(x',y')が

すなわち

で与えられるとき、この対応関係を１次変換といい、を１次変換をあらわす行列という。

１次変換によって原点は原点に写される。

また、１次変換によって(1,0)が(a,c)、(0,1)が(b,d)に移るとき、この１次変換を表す行列Aは

である。

【略証」

とすると、題意より

よって、

（略証終）

問１　点(1,0)、(0,1)を、それぞれ(1,2)、(3,4)に写す１次変換fを表す行列を求めよ。

【答】

問２　点(2,3)、(−2、−1)を、それぞれ、(5,18）、(−1,−10)に写す１次変換を表す行列を求めよ。

【解】

１次変換を表す行列をAとすると、

これを１本の式で書くと

とおくと、｜B｜=2・(−1)−(−2)・3=4≠0だから、

したがって、

（解答終）

§２　回転移動

点(x,y)を原点まわりにθ回転させる１次変換fは

である。

【略証】

fによる(1,0)の像は(cosθ,sinθ)、fによる(0,1)の像は(−sinθ,cosθ)。

したがって、fを表す行列は

である。

（略証終了）

問３　原点のまわりに、１２０°ど回転させる１次変換を表す行列を求めよ。この変換により、点(2,3)はどの点に写されるか。

【解】

回転を表す行列は

したがって、

よって、(2,3)はに写される。

（解答終）

問４　次の行列はどのような１次変換を表すか。

【解】

（１）　cos30°=√3/2、sin30°=1/2だから、この行列は原点まわり３０°回転させる行列を表す。

（２）　cos(−45°)=1/√2、 sin(−45°)=1/√2だから、この行列は原点まわり−４５°回転させる行列を表す。

（解答終）

§３　対称移動

原点、ならびに原点を通る直線に関する対称移動は１次変換になる。

（１）　原点Oに関する対称移動

原点Oに関する対称移動によって、点(x,y)は(−x,−y)に移動するので、１次変換を表す行列は

（２）　x軸に関する対称移動

(x,y)→(x,−y)だから

（３）　y軸に関する対称移動

(x,y)→(−x,y)だから

（４）　原点を通る直線y=xに関する対称移動

(x,y)→(y,x)だから

（５）　原点を通る直線y=−xに関する対称移動

(x,y)→(−y,−x)だから

問５　点Aを原点以外の点とする。点Aに関する対称移動は１次変換にならないことを示せ。

【解】

A(x₀,y₀)とする。ただし、x₀≠0またはy₀≠0。

点Aに関する対称変換fによって、P(x,y)がP'(x',y')に写されるとする。

このとき、点Pと点P’の中点はAになるので、

したがって、fは

の形で表すことができない。

よって、fは１次変換ではない。

（解答終）

§４　問題編

問題１　行列で表される１次変換によって、原点以外に動かない点が存在するように、kの値を定めよ。また、このとき、y軸上の点はすべてそれ自身に写されることを示せ。

【解】

よって、動かない点が原点以外に存在するためには、A−Eが逆行列を持ってはいけない。

だから、

よって、k=0。

また、このとき、y軸上の任意の点(0,y)は

と自分自身に写される。

（解答終）

１次変換（より広く、写像）によって自分自身に写される点を不動点、自分自身に写される直線を不動直線という。

問題１より、y軸上の点はすべて行列で表される１次変換の不動点であり、また、y軸はこの１次変換の不動直線であることが分かる。

問５の点A(x₀,y₀)に関する対称移動は、行列を用いると、

と表すことができる。

これを次のように変形し、

となるので、

とおくと、

となる。

つまり、点Aを原点O’にとるような新座標軸O’-XY（右図参照）を設定し、

と座標変換すれば、点Aに関する対称変換は、新たに設定した原点O’に関する対称移動になる。

つまり、

そして、

と直すことにより、

を得ることもできる。

そして、このように考えると、点(a,b)まわりに反時計方向に点P(x,y)をθ回転させたとき、

となることが分かるのではないだろうか。