第７回 １次変換と図形１

第７回　１次変換と図形１

§１　平面座標と１次変換

座標平面H=R²={(x,y)｜x∈R、y∈R}の１次変換fによる像（の集合）について考える。１次変換fを表す行列をAとすると、次のことが成り立つ。

　１　A=O（零行列）のとき、座標平面Hは原点に写される。

　２　A≠OかつAの逆行列A⁻¹が存在しないとき、座標平面Hは原点を通る直線に写される。

　３　A⁻¹が存在するとき、座標平面HはHに写される。

【略証】

１　とすると、任意の実数x、yについて

したがって、A=0のとき、座標平面Hは原点に写される。

２　Aは逆行列A⁻¹を有さないので

と書くことができる。ただし、aとbは同時に0にはならず、かつ、hとkは同時に0でないとする。

すると、任意の実数x、yについて

したがって、

よって、fによる座標平面Hは原点を通る直線kx−hy=0に写される。

３　Aは逆行列A⁻¹を持つので、とすると、。

したがって、任意の(x’,y')∈Hに対してこれに対応する(x,y)∈Hが存在する。よって、１次変換fによって座標平面HはHに写される。

問１　座標平面は、次の１次変換によって、どのような図形に写される。

【解】

（１）

したがって、

よって、座標平面は原点を通る直線y=2xに写される。

（２）　とおくと、｜A｜=1・4−2・3=−2≠0だから、Aは逆行列A⁻¹をもつ。よって、座標平面は座標平面に写される。

（解答終）

§２　直線の１次変換

直線lの１次変換fによる像については次の関係が成り立つ。

　１　A⁻¹が存在しないとき、直線lは点または原点を通る直線に写される。

　２　A⁻¹が存在するとき、直線lは直線に写される。

問２　次の１次変換によって、直線y=x+1はどのような図形に写されるか。

【解】

直線y=x+1は、x=tとおくと、

と表すことができる。

（１）

したがって、この直線は原点に写される。

（２）

よって、この直線は原点を通る直線y=2xに写される。

（３）　

x’=3t+2からtを消去すると、

これをy’=7t+4に代入すると、

よって、

（解答終）

（３）はの逆行列を用いると、次のように解くこともできる。

【（３）の別解】

とすると、｜A｜=1・4−2・3=−2≠0だから、Aは次の逆行列をもつ。

直線y=x+1上の点(x,y)の１次変換Aによる像を(x’,y’)とすると、

という対応関係がある。

(x,y)はy=x+1上の点だから

したがって、１次変換Aによって直線y=x+1は7x−3y−2=0に写される。

（別解終）

問題１　直線2x+3y=1上の点をすべて点(0,1)に写すような１次変換を求めよ。

【解】

tを媒介変数ｔ（パラメーター）とすると、直線2x+3y=1上の点は、x=3t、y=−2t+1/3で表される。

直線2x+3y=1上の点はすべて点(0,1)に写されるので、任意のtに関して

したがって、a=b=0、c=2、d=3。

よって、

（解答終）

問題２　平面上で、１次変換fを表す行列とする。

（１）　fが平面上の点をすべて、直線y=mx（m≠0）上に写すとき、Aの成分に関する条件を求めよ。

（２）　fがなお、直線y=mx上の点をすべて動かさないとき、Aの成分に関する条件を求めよ。

【解】

（１）　平面上の任意の点(x,y)の１次変換による像を(x’,y’)とすると、

(x’,y’)はすべて直線y=mx上にあるから

x、yは任意の実数だから、

（２）　直線y=mx上の点は、媒介変数をtとすると、(t,mt)と表される。

直線y=mx上の点はすべて動かさないから

　

これが任意の実数に関して成立するので、

（１）からc=am、d=bmを①に代入すると、

したがって、求める条件は

（解答終）

おまけ

平面上の直線の方程式は、直線上の相異なる２点があれば定まる。

このことを用いると、例えば、問２の（３）は次のように解くことができる。

【問２の（３）の別解２】

y=x+1上の点(0,1)と(−1,0)の１次変換の像は

(2,4)と(−1,−3)を通る直線の方程式は

したがって、求めるべき直線の方程式は7x−3y−2=0

（別解２終）

このように解くことができるけれど、この方法で、１次変換

によって直線x+2y=2はどのような図形に写されるか、これを求めてみよう。

直線x+2y=2上にある相異なる２点を(2,0)、(0,1)をとり、Aによる像を求めてみると、

と、Aによる像が同じになってしまう（ハテナ）。

これでは、Aによる直線x+2y=2の像である直線の方程式が求められない！！

実は、このとき、直線x+2y=2上の点はすべてAによって(2,4)に写されるのであった。

｜A｜=1・4−2・2=0だから、Aは逆行列をもたず、正則行列ではない。

このような場合、逆行列を使っている別解１の解法は使えないし、直線上の相異なるAによる２点の像を用いた解法も危ない。

　A⁻¹が存在しないとき、直線lは点または原点を通る直線に写される。

下線部を引いたことをを知っていれば、別だが・・・。

では、パラメータ（媒介変数）を用いた解法はどうか？

【解】

x=2tとおくと、

したがって、直線x+2y=2上の点は(2t,1−t)と表せる。ここで、tは任意の実数。

そこで、(2t,1−t)の像を求めると、

したがって、直線x+2y=2は、Aによって点(2,4)に写される。

（解答終）

さて、勘のいいヒトは、直線の方程式の係数と行列Aの行ベクトルが平行であることに気付くのではないか。

そうなんだにゃ、このとき、直線はAによって１点に写されるんだケロ！！

問題１　直線2x+3y=1上の点をすべて点(0,1)に写すような１次変換を求めよ。

問題１の答えは、

で、

の形になっているではないか。

そして、さらに言うと、

を満たすのは、(h,k)=(0,1)だから

と、簡単に解けてしまうのであった。

不幸にして、ここまで読んでしまったヒトに宿題！！

宿題　１次変換fを表す行列をとする。このとき、直線l:px+qy=r（p≠0またはq≠0）がfによって１点に写される条件を求めよ。

この宿題を解くと、「これは何処から出てきた！！」が分かるはず。

あるいは、

次のことを示せ。

　A⁻¹が存在しないとき、直線lは点または原点を通る直線に写される。

さらに、余裕のあるヒトは、次のことも示す！！

　A⁻¹が存在するとき、直線lは直線に写される。

（註）

「ベクトル(1,2)と零ベクトル(0,0)は平行ではない」けれど、形式的に

(0,0)=0×(1,2)

と書くことができる。