第１１回 行列の固有値と固有ベクトル

第１１回　行列の固有値と固有ベクトル

Aを（２次の）正方行列とする。

を満たすkを行列Aの固有値、をkに対する固有ベクトルという。

はと変形できるから、が存在するための必要十分な条件は

である（註１）。

とすると、

だから、

これを行列Aの固有方程式という（註２）。

（註１）

行列式｜A−kE｜≠0のとき、A−kEは逆行列を持つ。

となり、に反する。

（註２）

ケイリー・ハミルトンの公式

と、（２）は同じ形をしている事に注意。

問　次の行列の固有値と、固有値に対する固有ベクトルを求めよ。

【解】

とし、kをAの固有値、kに対する固有ベクトルをとする。

（１）

(x,y)が(0,0)以外の解を持つためには、

①は

k=1のとき、

②、③式より0x=0、y=0。

したがって、固有ベクトルは

k=2のとき、

②、③式より、−x=0、0y=0。

したがって、固有ベクトルは

（２）

(x,y)が(0,0)以外の解を持つためには、

k=2のとき、

k=7のとき

したがって、固有ベクトルは

（３）

①が(x,y)=(0,0)以外の解を持つためには

k=1のとき、①は

したがって、固有ベクトルは

（解答終）

定理

（２次の）正方行列Aの固有値が相異なる実数のとき、それに対する固有ベクトルは１次独立である。

【証明】

Aの相異なる２実根をλ₁、λ₂とし、λ₁、λ₂に対する固有ベクトルをそれぞれとすると、

そこで、の一次結合を

とすると、

を消去するために、①×λ₂−②を計算すると、

だから、

a=0だから、①は

だからb=0。

したがって、とは１次独立である。

（証明終）

上の定理より、問の（１）、（２）で求めた固有ベクトルは互いに１次独立であることがわかる。

h=1、l=1とすると、（１）の固有ベクトルはが１次独立であることは明らか。

また（２）の固有ベクトルは、の１次結合を作り、それをと置くと、

になる。

とおくと、｜A｜=1・1−2・(−1)=3≠0だから、Aは逆行列を持ち、

となり、 １次独立である。

今すごく大切なことをさり気なく書いていたけれど、列ベクトルが１次独立か否かの判定は、から作った行列

の行列式

の値から、｜A｜≠0ならば１次独立、｜A｜=0ならば１次従属と判定できる！！