第１回 集合

第１回　集合

§１　集合の要素と相等

aが集合Aに属しているとき、aは集合Aの要素（元）といい、このことを記号

で表し、aが集合Aの要素でないとき、このことを

で表す。

要素を有限個しか含まない集合を有限集合、そうでない場合を無限集合という。

Aの全ての要素がBの要素であり、Bの全ての要素がAであるとき、すなわち、 x∈Aならばx∈B、かつ、x∈Bならばx∈Aであるとき、集合AとBは等しいといい、このことを

A＝BまたはB=A

で表す。

また、A=Bでないとき、AとBは相異なるといい、

A≠B

で表す。

§２　集合の表し方

集合の表し方には、集合の要素を列挙する外延的記法と、集合に属する条件を用いて集合を表す内包的記法の２通りがある。

外延的記法の例

内包的記法の例

問１　以下の内包的記法を外延的記法で表わせ。ただし、Nは自然数全体の集合、Qは有理数全体の集合とする。

【解】

（１）　１０未満の自然数の集合は｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝だから、その逆数1/nの集合は

（２）　0<x<100の有理数なので、

また、√xは自然数なので、①を満たす自然数は

自然数は有理数なので、これが求める集合である。

（解答終）

問２　自然数全体の集合をNとし、Nの各要素xの正の約数をf(x)で表す。このとき、次の問に答えよ。

（１）　f(2)、f(4)、f(18)を求めよ。

（２）　はどのような集合か。

【解】

（１）　２の正の約数は１、２だから、f(2)=2。

４の正の約数は１、２、４だから、f(4)=3。

１８の約数は、1、２、３、６、９、１８だから、f(18)=6。

よって、

　f(2)=2、f(4)=3、f(18)=6。

（２）　xを１ではない自然数とすると、1とxは、xの約数。f(x)=2なので、xは１と自分自身x以外の約数をもたない。つまり、xは素数。

したがって、素数全体の集合である。

（解答終）

§３　部分集合

集合Aの要素xがすべてBの要素であるとき、すなわち、

であるとき、AはBの部分集合であるといい、記号

または

で表す。

特に、A⊂BかつA≠Bであるとき、AはBの真部分集合という。

本によっては、AがBの部分集合であることを

AがBの真部分集合であることを

で表すことがある。

例

A=｛1, 2 , 3｝はB={1, 2, 3, 4, 5｝の部分集合であり、Bの真部分集合である。

集合Aの要素はすべて集合Aの要素なので、AはAの部分集合である。すなわち、

自然数全体の集合Nは整数全体の集合Zの部分集合であり、真部分集合である。

定理１　A⊂BかつB⊂Aならば、A=Bである。

【証明】

A⊂BだからAの全ての要素はBの要素であり、B⊂AだからBのすべての要素はAの要素である。したがって、AとBはその全ての要素を共有し、A=Bである。

（証明）

定理２　A⊂B、B⊂CならばA⊂Cである。

【証明】

A⊂Bだからx∈Aならばx∈B、また、B⊂Cだから、x∈Bならばx∈Cである。したがって、x∈Aならばx∈C。

よって、

A⊂B、B⊂CならばA⊂C

（証明）

問３　定理１を用いてA=Aであることを示せ。

【解】

A⊂AかつA⊃Aなので、定理１より、A=Aである。

（解答終）