第４回 分配法則とド・モルガンの法則

第４回　分配法則とド・モルガンの法則

定理８　A、B、Cを任意の集合とするとき、次の関係が成立する。

【証明】

（１）　まず、
を証明する。
x∈A∩(B∪C）であるとする。すると、定義より、x∈Aでかつ(x∈B またはx∈C）になる。

で、x∈Aかつx∈B、つまり、x∈A∩Bのとき、

同様に、x∈Aかつx∈C、つまり、x∈A∩Cのとき、

になる。

よって、x∈Bであろうがx∈Cであろうが、

次に、

を証明する。

同様に

よって、

①と②より

（２）

　

（証明終）

（２）の証明では、次の吸収法則を使っている。

吸収法則が成り立つことは、前回の定理４の（３）と定理６の（３）より明らか。

なぜならば、

A⊂A∪Bだから、定理６の（３）より、A∩（A∪B）=A

A∩C⊂Aだから、定理４の（３）より、A∪（A∩C）=A

であるからである。

定理９（ド・モルガンの法則）

A、B、Cを任意の集合とするとき、次の関係が成り立つ。

【証明】

（証明終）

A、Bが普遍集合Uの部分集合である場合には、次の形のド・モルガンの法則が成り立つ。

定理１０　（ド・モルガンの法則）

問１　次のことを示せ。ただし、Uは普遍集合とする。

【解】

（１）　ド・モルガンの法則より

したがって、

（２）　ド・モルガンの法則より

したがって、

（解答終）

問２　AとBが普遍集合Uの部分集合であるとき、Aに関するBの補集合A−Bは

になる。

このことと定理１０を用いて、定理９が成り立つことを示せ。

【解】

（解答終）