第１４回 行列の微分方程式への応用

第１４回　行列の微分方程式への応用

§１　連立微分方程式への応用

次の連立微分方程式があるとする。

行列を用いてこれを表すと、

２次の正則行列Pをとり

とおき、この両辺をxで微分すると、

これらを（１）に代入すると、

となる。

したがって、行列が相異なる実数の固有値λ₁、λ₂を持つならば、適当な行列Pを用いて

と対角化が可能となり、（２）は次のようになる。

この微分方程式を解くと、

したがって、連立微分方程式の解は

となる。

Pは、固有値λ₁、λ₂に対する固有ベクトルをとすると、

したがって、（

問１　次の連立微分方程式を解け。

【解】

とすると、この行列の固有方程式は

固有値λ=1のとき

よって、その固有ベクトル（の１つ）は

λ=3のとき

よって、

したがって、（６）より

（解答終）

【別解】

①−②

①＋②

③と④より、

ここで、

とおくと、

（解答終）

１階の連立２元微分方程式を例に取り説明したが、これは１階の連立n元連立方程式

にもそのまま拡張が可能で、係数行列

の相異なる固有値をとし、それに対応する固有ベクトルを、

としたとき、

連立微分方程式の解は

になる。

§２　２階同次線形微分方程式（定数係数）への応用

次の２階の同次線形微分方程式があるとする。

これは

とおくと、上の微分方程式は

となるので、

と、１階の連立微分方程式に書き換えることができる。

行列を用いて、これを書き換えると

したがって、行列の固有値、固有ベクトルを求めることによって、この微分方程式を解くことができる。

問２　次の微分方程式を解け。

【解】

したがって、

とおくと、微分方程式は

と書き換えることができる。

とおくと、この固有方程式は

λ=1のとき

よって、固有ベクトル（の１つ）は

λ=2のとき

よって、この固有ベクトルは

したがって、

ゆえに、

（解答終）

【別解】

微分方程式の特性方程式

よって、

（解答終）