第３回 集合の和と交わり
§１ 和集合
AとBを集合とする。
AとBの要素を全て寄せ集めてできる集合をAとBの和集合、または、単に和といい、
A∪B
であらわす。
すなわち、
である。
例 A=｛1,
2, 3｝、B=｛2
, 4 , 6｝であるとき、
定理４
【証明】
（１） A∪Bは、AとBの要素を全部寄せ集めたもの。よって、x∈Aならば、x∈A∪B。
よって、A⊂A∪B。B⊂A∪Bも同様。
（２） x∈A∪Bとすれば、x∈Aまたはx∈Bである。
仮定より、A⊂CかつB⊂Cであるから、いずれにせよx∈C。ゆえに、A∪B⊂C
（３） （１）よりA∪B⊃Aであるから、A∪B⊂Aであることをいえばよい。
A⊂A、B⊂Aであるから、（２）によってA∪B=A。
（４） A∪B=AだからA∪B⊂A。（１）より、A⊂A∪B。ゆえに、第１回の定理２よりB⊂A。
（証明終）
（３）、（４）は、B⊂Aであるための必要十分条件がA∪B=Aであることを示している。
定理５
【証明】
（１） A∪B、B∪AともにAの要素とBの要素をすべて寄せ集めたもの。したがって、A∪B=B∪A。
（２） (A∪B)∪Cは、A∪Bの要素とCの要素をすべて寄せ集めたもの。A∪BはAとBの要素をすべて寄せ集めたもの。ゆえに、（A∪B）∪Cは、AとB、Cのすべての要素を集めたものにほかならない。
同様に、A∪（B∪C）も、AとB、Cのすべての要素を集めたものである。
したがって、(A∪B)∪C=A∪(B∪C)である。
（証明終）
（２）の結合法則より、
と括弧を取り外して計算してよいことが保証される。
問１ A∪A=Aであることを示せ。
【解】
定理２の（１）より、A∪A⊃A。
また、A⊂A、A⊂Aだから、定理２の（２）より、A∪A⊂A。
したがって、
A∪A=A
（解答終）
問２ A∪∅=Aであることを示せ。
【解】
A∪∅⊃A。
また、A⊂A、∅⊂Aだから、A∪∅⊂A。
したがって、
A∪∅=A
（証明終）
問３ A∪B=(A−B)∪Bであることを示せ。
【解】
A−B⊂A⊂A∪B、B⊂A∪Bだから、
（A−B）∪B⊂A∪B
つぎに、x∈A∪Bとすれば、x∈Aまたはx∈B。
x∈Bならば、x∈(A−B)∪B。
x∉Bならばx∈Aだから、x∈A−Bで、x∈(A−B)∪B。
いずれにせよ、
x∈（A−B）∪B。
したがって、
A∪B=(A−B)∪B
（解答終）
問４ （A−B）∪B=Aであるための必要十分条件はA⊃Bであることを示せ。
【解】
問３より、（A−B）∪B=A∪B。
問の条件より（A−B）∪B=Aだから、
A∪B=A
定理５の（３）、（４）より、A∪B=Aであるための必要十分条件はA⊃B。
したがって、
（A−B）∪B=Aであるための必要十分条件はA⊃Bである
（解答終）
§２ 共通部分
２つの集合A、Bに共通する要素の全体からなる集合を、AとBの共通部分、あるいは、交わりといい、
A∩B
であらわす。
すなわち、
である。
AとBに共通する要素が１つもないとき、すなわち、
A∩B=∅
のとき、AとBは互いに素であるという。
例 A=｛1,
2, 3｝、B=｛2,
4, 6｝のとき、
定理６
【証明】
（１） x∈A∩Bだから、x∈Aかつx∈B。ゆえに、x∈A∩Bならばx∈A。よって、A∩B⊂Aである。
A∩B⊂Bも同様。
（２） x∈Cならば、C⊂A、C⊂Bより、x∈Aかつx∈B。ゆえに、x∈A∩B。よって、C⊂A∩Bである。
（３） （１）より、A∩B⊂B。よって、B⊂A∩Bであることを示せばよい。
B⊂A、B⊂Aであるから、（２）によってB⊂A∩B。
よって、B⊂AならばA∩B=Bである。
（４） 仮定より、B=A∩Bである。
したがって、（１）より
B=A∩B⊂A
（証明終）
定理７
定理５は明らかなので、証明略。
問１ 定理４を用いて、A∩A=Aであることを示せ。
【解】
A⊂Aだから、定理４の（３）より、
A∩A=A
（解答終）
問２ A∩∅=∅であることを示せ。
【解】
∅⊂Aだから、定理４の（３）より、
A∩∅=∅
（解答終）
問３ A−B=Aとなる必要十分条件は、AとBが互いに素であることを示せ。
【解】
x∈A−Bとすると、x∈Aかつx∉B。
したがって、
（A−B）∩B=∅
である。
仮定より、A−B=Aだから、
逆に、AとBが互いに素であるとき、
A−B=A
よって、
A−B=Aとなる必要十分条件は、AとBが互いに素である。
（解答終）
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