第１２回 行列の対角化

第１２回　行列の対角化

２次の正方行列の相異なる固有値をα、β、そして、α、βに対応する固有ベクトルをとする。

固有値と固有ベクトルの定義より、

これを１つの行列であらわすと、

となる。

は相異なるα、βに対応する固有ベクトルなので、互いに一次独立である。

したがって、

とおくと、行列Pの行列式｜P｜≠0であり、Pは逆行列P⁻¹をもつ。

よって、

つまり、

このように行列の固有ベクトルを用いて、対角行列を作ることを行列の対角化という。

２次の正方行列について述べたが、Aをn次の正方行列とし、その相異なるn個の固有値を、これに対応する固有ベクトルをとし、

とすると、

と、行列の対角化を行うことができる。

また、（１）より、

同様にして、

が成り立ち、

（５）式を用いて、を求めることができる。

を求めるだけならば、

同様に、

したがって、

とした方がスッキリしていますが・・・。

問題　とするとき、次の問に答えよ。

（１）　Aの固有値、固有ベクトルを求めよ。

（２）　を求めよ。

（３）　次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。

【解】

（１）　Aの固有方程式は

k=1に対応する固有ベクトルは

k=5に対応する固有ベクトルは

（２）　とおくと、

よって、

（３）　この漸化式は行列を用いると、

と表すことができる。

したがって、

よって、

である。

（解答終）

追加問題

問題３　である、を求めよ。

【解】

と考えると、

したがって、

行列の固有値は

k=3に対する固有ベクトルは

k=1に対する固有ベクトルは

したがって、は

と対角化可能。

よって、

（解答終）

と、行列とその対角化をもちいて、わざわざ難しくして解くことも可能！！