第９回 １次変換の合成と逆変換

第９回　１次変換の合成と逆変換

１次変換f、gを表す行列をA、Bとすると、合成写像を表す行列はABである。

また、Aが逆行列をもつとき、fの逆変換f⁻¹を表す行列はA⁻¹である。

問１　１次変換

とする。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　合成写像g○fとf○gを表す行列を求めよ。

（２）　点(2,3)はg○fとf○gによって、それぞれどんな点に写されるか。

【解】

（１）

（２）

したがって、

（解答終）

問２　１次変換の逆変換f⁻¹を表す行列を求めよ。また、fによって点(2,3)に写される元の点を求めよ。

【解】

fを表す行列は｜A｜=2・3−(−1)・5=11≠0だから逆行列A⁻¹をもつ。

fによって点(2,3)に写される点を(x,y)とすると、

（解答終）

問３　P(x,y)を直線y=xに関して対称移動し、さらに、原点Oのまわりに６０°だけ回転すると点(2,1)に写る。点Pの座標を求めよ。

【解】

P(x,y)を直線y=xに関して対称移動させる変換をf、さらに、原点まわりに60°だけ回転させる１次変換をgとすると、

f、gを表す行列A、Bは

したがって、

よって、元の点は(1−√3,1+√3/2)。

（解答終）

問題１

行列Aはどのような１次変換を表しているかを答えよ。

【解】

a²+b²≠0だから、

ここで、

とおくと、

したがって、Aは拡大（拡大比）と原点を中心とする回転の合成写像を表している。

（解答終）

問題２　原点を通り、x軸の正の向きと角θをなす直線をlとする。点(x,y)のlに関する対称点(x’,y’)を次のような１次変換の合成に求める。

　(a)　原点Oを中心とする角−θの回転によって(x,y)を(x₁,y₁)に写す。

　(b)　(x₁,y₁)をx軸に関する対称点(x₂,y₂)に写す。

　(c)　最後に、原点Oを中心とする角θの回転によって(x₂,y₂)を(x’,y’)に写す。

各変換を行列を用いて、

と表し、それらを合成して

と表す。

行列A、B、C、Dを求めよ。

【解】

Aは原点Oを中心とする角−θの回転を表す行列なので

Bはx軸に関する対称変換であり、(x₂,y₂)=(x₁,−y₁)という対応関係があるので、

Cは原点Oを中心とする角θの回転を表す行列なので

したがって、

（解答終）

問題３　y=mxについての対称移動を表す行列を求めよ。

【解】

m=tanθ（0≦θ<π/2,π/2<θ<π）だから、

cos2θの倍角公式

したがって、

m≧0（0≦θ<π/2）のとき

m<0（π/2<θ<π)のとき

よって、

以上のことから、

（※）

と求めることもできる。

点PとQが直線lに関して対称であるための条件は

　１　PとQの中点が直線l上にある

　２　線分PQが直線lと直交

【別解】

P(m,−1）、Q(−m,1)とすると、この中点は(0,0)で、直線y=mx上に存在する。

また、

直線y=mxはベクトルに平行。

よって、PQと直線y=mxは直交する。

したがって、PとQは直線y=mxに関して対称である。

平面上の点を直線y=mxに関して対称移動させる１次変換をfをすると、PはfによってQに写る。また、直線l上の点(1,m)はfによって自分自身(1,m)に写る。

１次変換fを表す行列をAとすると、

だから、

（別解終）

【別解２】

P(x,y)、Q(x',y')が直線y=mxに関して対称とする。

PとQの中点

はy=mx上にあるので、

線分PQはy=mxに直交するので、

①と②をx'、y'について解くと

したがって、

（別解２終）

（※）　直交する２直線の傾きの積は−1

こういう求め方がいいかどうかは疑問だが、m≠0のとき、

だから、

直線y=mxの傾きを限りなく大きく（または限りなく小さく）すると、y=mxはy軸に限りなく近づいてゆく。

だから、y軸を直線y=mxのm→±∞の極限と考えると、上のように、y軸(直線x=0)に関しての対称移動を表す行列

を得ることができる。

【別解３】

直線y=mxの単位方向ベクトルをとすると、

直線y=mxに関して対称な点をP(x,y)、P'(x',y')とし、その位置ベクトルをとする。

のに対する正射影ベクトルは

これは、の中点になるので、

（解答終）

別解３によって、

単位ベクトルに関しての対称変換をfとする。fによってがに写される変換は

であることがわかる。

これが１次変換であることは、

となることがわかる。