第２回 数列の極限の計算（基本）

第２回　数列の極限の計算（基本）

問題を具体的に解くことによって、数列の極限の計算法を学ぶことが今回の目的。

問題１　次のような一般項を持つ数列の極限を求めよ。

【考え方】

このタイプの極限の計算は、最高次の項をくくりだすとよい。

たとえば、（１）のばあいは、

n→∞のとき

になるので、

になる。

（２）の場合は、分子分母の最高次のn²をくくりだす分母、分子でくくり出すとよい。

n→∞のとき1/n²→0だから、

したがって、極限の公式

より、

となる。

【解】

（１）　

n→∞のとき

だから、

（２）

n→∞のとき

よって、

（３）

n→∞のとき

だから、

したがって、

（４）　0≦｜cos nx｜≦1だから

n→∞のとき

だから

よって、

（解答終了）

問題２　次の極限値を求めよ。

【考え方】

（１）　分母分子で最大の項はだから、これで分母分子を割ると

0<2/3<1、0<1/3<1だから、n→∞のとき

したがって、

つまり、

（２）　これは次のようにの有理化をするとよい。

√nで分母分子を割ると

n→∞のとき

したがって、

よって、

これをまとめて解答を作ればよい。

今回は基本だけで、次回はより複雑な数列の極限を求めることにする。

計算問題だけでは単調なので、最後に次の問題を解くことにする。

問題３　数列がの関係を満たすとき、次の極限を求めよ。

【解】

（１）

n→∞のとき

つまり、

（２）

で、

したがって、

（３）　（２）より

したがって、

つまり、

（解答終了）