第７回 無限級数４

第７回　無限級数４

問題　次の和を求めよ。

【解】

x=1のとき

x≠1のとき、

①にxを掛けると

よって、①−②は

（解答終了）

上で求めた

は、｜x｜<1のとき

になるのだが、このためには、｜x｜<1のとき

を証明する必要がある。

この証明は、例えば、次のようにすればよい。

【証明】

x=0のとき、③は明らか。

0<｜x｜<1のとき

とするαが存在する。

したがって、

したがって、

そして、

だから、0<|x|<1のとき

（証明終わり）

このことから、

問題２

（１）　a>0のとき、

であることを証明せよ。

（２）　無限級数

を求めよ。

【解】

（１）　n≧2のとき

（２）

とする。

②に1/2を掛けると

①−②は

a=1を（１）の結果に代入すると、

よって、

（解答終了）

問題３　無限数列がを満たすとき、次の問いに答えよ。

（１）　一般項を求めよ。

（２）　次の無限級数の和を求めよ。

【解】

（１）

①はn=1のときにも成り立つので、

（２）

（解答終了）