2016年12月14日水曜日

漸化式で表された数列の極限 連立漸化式

漸化式で表された数列の極限 連立漸化式



問題1 数列x₁=1y₁=5をもとにして
にしたがって作られている。このとき、およびを求めよ。
【解】
①から
よって、
③、④を②に代入すると、
ここで,t²−4t+3=0として、この2次方程式を解くと、
したがって、⑤は次のように変形できる。
⑥よりは初項x₂−x₁、公比3の等比数列。
したがって、
⑦より、数列は一定だから――初項x₂−3x₁、公比1の数列と考えてもよい――
x₁=1y₁=5だから、①より
よって、⑧、⑨から
⑩−⑪
③より
【解答終了】

上のように隣接3項の漸化式に変形して解くことができるけれど、実はうまい方法がある。

【別解】
+②
①−②
③より、数列は、初項x₁+y₁、公比3の等比数列だから
④より
⑤+⑥
⑤−⑥
【別解終了】

どちらが楽かは言うまでもないだろう。

この他に、
として行列を利用して解く方法もありますが・・・。


問題2
に対して次の問いに答えよ。
(1) nの式であらわせ。
(2) を求めよ。
【解】
(1)
①+②
①−②
③より
④より数列は初項x₁−y₁=1、公比1/3の等比数列。
⑤+⑥
⑤−⑥

(2)
(解答終了)


問題3 が次の条件を満たすとき、を求めよ。
【解】
より、
よって、
①より、
②より
④−③
で、
よって、
(解答終了)

【別解】
①−②
①−2×②
③、④より
よって、
(解答終了)

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