2016年12月13日火曜日

第13回 漸化式で表された数列の極限4 隣接する3項の場合

第13回 漸化式で表された数列の極限4 隣接する3項の場合


隣接する3項の漸化式の一般形は

2次方程式t²+pt+q=0の実数解をαβとすると、2次方程式の解と係数の関係から
となるので、(1)は
と変形できる。
(2)は数列が初項a₂−βa₁、公比αの等比数列であることを表すので、
(3)は数列が初項a₂−αa₁、公比βの等比数列であることを表すので、
(4)−(5)は
α≠βならば、(6)をα−βで割ることによって、一般項を得ることができる。
α=βのとき、
両辺をで割ると
よって、


では、問題を。

問題1 次のように定められた数列についてを求めよ。
【解】
(1)
よって、
また
②−①は

(2)
の両辺の対数をとると、
とおくと、①は
よって、
また、
③−②
(解答終了)


問題2
で定義される数列について次の問いに答えよ。
(1) はどんな数列か。
(2) n項までの和を求め、を求めよ。
【解】
(1)
の両辺の対数をとると、
とおくと
よって、は初項b₁=log2、公差−log2とする等差数列。
したがって、

(2)
(解答終了)



問題3
(1) 数列、1,2,3,5,8,13,21,34,・・・はどんな規則でできているか。その規則を式であらわせ。
(2) 上の数列の第n項を第n+1項で割ったものをとおくとき、を求めよ。
【解】
(1)

(2)
両辺をで割ると、
よって、
で、
とおき、これを解くと
となるので、あらためて
とおいて、①の両辺をαで引くと
だから
で、
よって、
したがって、
よって、
(解答終了)

ちなみに、問題3に出てくる数列をフィボナッチ数列といい、

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