第９回 無限級数６ 無限級数の図形への応用

第９回　無限級数６　無限級数の図形への応用

問題１　右図のように直角三角形ABCの中に正方形S₁、S₂、S₃、・・・が限りなくならんでいるとき、これらの正方形の面積S₁、S₂、S₃、・・・の総和を求めよ。ただし、BC=a、∠A=60°、∠B=90°とする。

【解】

正方形S₁、S₂、S₃、・・・の１辺の長さをx₁、x₂、x₃、・・・とし、AB=cとする。

△ABC∽△ARQだから

∠A=60°だから、

よって、

同様に、

したがって、

問題２　２等辺三角形ABCの３辺に内接する円Oの半径をrとする。等辺AB、ACと円Oとに内接する円をO₁とし、AB、ACとO₁とに接する円をO₂とする。このようにして次々と円を作っていくとき、これらすべての円の面積の和を求めよ。ただし∠A=2αとする。

【解】

OからAB、O₁からABに下ろした垂線の足をT、T₁、O₁からOTに下ろした垂線の足をHとする。

△O₁HO∽△ATO

また、

だから、

同様に、

の面積をとすると、は初項、公比

の等比数列。

よって、

（解答終了）

問題３　放物線y=x²をCとする。C上の点A₁(a,b) （a>0）における接線とx軸との交点をP₁とし、P₁を通ってx軸に垂直な直線とCとの交点をA₂、点A₂におけるCの垂線とx軸との交点をP₂とする。以下、同じようにして、C上に、x軸上にを作る。

（１）　のx座標を、それぞれとすると、はどんな数列になるか。

（２）　図形の面積をとするとき、無限級数を求めよ。

【解】

（１）　dy/dx=2xだから、における接線の方程式は、

x軸との交点を求めると

よって、

したがって、は初項a/2、公比1/2の等比数列で、

（２）　図形の面積は

は初項、公比1/8の等比数列。

よって、

（解答終了）