2016年12月8日木曜日

第8回 無限級数5

第8回 無限級数5


問題1
数列について、であり、すべてのnに対して、のときは、この数列は収束する。
この定理は使っていいものとして、次の問いに答えよ。
(1) rは一定の数で、0<r<1とする。すべてのnに対してが成り立つとき、無限級数は収束することを示せ。
(2) n²>n(n−1)であることをつかって、次の級数が収束することを示せ。
【解】
(1) だから、
よって、とおくと、
また、0<r<1だから
よって、
は単調増加で、すべてのnに対してだから収束する。

(2) n²>n(n−1)だから、n≧2に対して
したがって、
とおくと、1/n²>0だから、数列は単調増加数列で、かつ、すべてのnに対してだから、この無限級数は収束する。
(解答終了)


問題2 級数は収束する。このことを使って、級数が収束することを示せ。
また、級数の和をそれぞれSTとするとき、STの間の関係式を求めよ。
【解】
とおく。
数列は収束するので、①より
となり、は収束する。
したがって、
である。
【解】

①から、
としてはいけない。
が収束することTに収束することがわかっていないから。

問題1の
数列について、であり、すべてのnに対して、のときは、この数列は収束する。
という定理を使っていいのならば、次のように証明することもできる。
すべての正の整数kについてk²(k+1)>k²だから
また、だからは単調増加で、すべてのnに対してだから、上記の定理より収束する

なお、問題1の(2)は積分を使うと、次のように証明できる。
k≧2とする。
x∈[k−1,k]のとき
よって、
この両辺に1を加えると、
・・・

問題3 次の条件を満たす数列は収束するか。
【解】
(1)

(2)
よって、
よって、は収束しない、振動する。
(解答終了)


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