確率の初歩 問題編２

確率の初歩　問題編２

問題１　Aの箱には１個の赤球と２個の青球と３個の白球が入っている。Bの箱には１０本のくじが入っていて、そのうち３本が当たりくじである。

Aの箱から１個の珠を取り、それが赤であれば同時３本、青であれば２本、白であれば１本のくじをBの箱から引けるものとする。
（１）　ちょうど１本当たる確率を求めよ。

（２）　少なくとも１本当たる確率を求めよ。

【解】

（１）　Aから赤が出てBから１本だけ当たる事象、Aから青が出てBから１本だけ当たる事象、Aから白が出てBから１本だけ当たる事象の確率は、それぞれ、

３つの事象は互いに排反なので、求める確率は、

（２）　Aから赤が出て１本も当たらない事象、 Aから青が出て１本も当たらない事象、 Aから白が出て１本も当たらない事象の確率はそれぞれ

３つの事象は排反なので、１本も当たらない確率は

少なくとも１本当たる事象は、１本も当たらない事象の余事象なので、求める確率は

（解答終了）

問題２　５個のA、B、C、D、Eを、横に１列に出たらべにならべたとき、次のものを求めよ。

（１）　AがBの右にあり、同時にCがDより右にある確率。

（２）　AとBが隣り合わせにならない確率。

【解】

（１）　A、B、C、D、Eの５個をならべる順列の総数は5!通り。

AがBの右にあり、同時にCがDより右にある順列の個数は

よって、求める確率は

（２）　AとBが隣り合わない事象は、AとBが隣り合う事象の余事象。

AとBが隣り合う順列は、AとBを１個と考え、４個の順列を考えれば良いので、4!通り。

したがって、AとBが隣り合う確率は

よって、AとBが隣り合わない確率は

（解答終了）

（※）

次の５つの□のうちに１個を選び、まず、Eをおく。

□□□□□

これには通りの選び方がある。

つぎに、４個の内の２つを選び、B、Aの順序に置く。この選び方は

残りの２個から２個選び、D、Cの順序でおく。この選び方は

したがって、AがBの右に、CがDの右にある並び方は

通り。

もっと大胆に考えるならば、AとBを同じ種類、CとDを同じ種類と考え、AとB、CとDを区別しなければよい。区別するから、右・左の順序が生じる。

このように考えると、同じ種類のものを含む順列の公式より

であることが分かる。

問題３　１つのさいころを４回投げ、１回目に出た目の数をa、２回目に出た目の数をb、３回目に出た目の数をc、４回目に出た目の数をdとする。

（１）　a+b+c+dが偶数になる確率を求めよ。

（２）　abcdが偶数になる確率を求めよ。

【解】

（１）　a+b+c+dが偶数になるのは、４回さいころを投げたうち、「偶数の目が４回出る」場合と「偶数の目が２回、奇数の目が２回出る」場合と、「偶数の目が0回出る」場合。

偶数の目が出る確率pは

「偶数の目が４回出る」確率は

「偶数の目が２回、奇数の目が２回出る」確率は

「偶数の目が０回出る」確率

したがって、求める確率は

（２）　abcdが偶数になる事象の余事象は、「a、b、c、d」がすべて奇数である事象。

４回奇数が出る確率は

よって、abcdが偶数である確率は

（解答終了）

「偶数の目が０回出る」確率

と書いたけれど、この事象は奇数の目が４回続けて出る事象のことだから、奇数の目が４回続けて出る

と等しい。