第１５回 （仮説）検定

第１５回　（仮説）検定

ある事柄が成り立つという仮説を立て、その仮説に基づいて計算した確率がある基準の確率（優位水準または危険域）より小さいとき、その仮説は間違っていると判断し、そうでないときはその仮説は正しいと判断する。

このような判断を検定という。

危険率、または、優位水準は、通常、５％や１％が採用される。

問題１　ある町で３０００人のうち１０００人が流感にかかった。しかし、毎日冷水まさつをしていた１０人の学生のうちで、流感にかかったものは２人だけであった。冷水まさつの効果があるといえるか。危険率５％で判定せよ。

【解】

「冷水まさつの効果はない」という仮説を立てると、１０人の学生のうち流感にかかったものが２人以下である確率は

したがって、「冷水まさつの効果はない」という仮説は棄却できない。

つまり、「冷水まさつの効果はない」。

（解答終了）

問題２　Aは、これまで３題のうち２題くらいの割合でしか問題が解けなかったが、今回のテストでは、これまでの同程度の問題に対して、８題のうち７題を解くことができた。このことから、Aの実力が上がったと判断してよいか。

さらに、次回のテストにも、これと同程度以上の好成績を上げたとしたらどうか。

危険率５％で検定せよ。

【解】

「Aの実力が上がっていない」と仮定すると、問題を解く確率は2/3だから、８題のうち７題以上解く確率は

だから、「Aの実力が上がっていない」という仮説は棄却できず、「Aの実力が上がった」と判断できない。

２回続けて８題のうち７題以上解ける確率は

したがって、「Aの実力が上がった」と判断できる。

（解答終了）

１回だけだと、Aが８題のうち７題解くことができる確率は約0.2だから十分に起こりうる。
しかし、２回続けて起きるとなると、確率が約0.04と0.05よりも小さく、このようなことはまず起きない。だから、「Aの実力が上がっていない」という仮説は棄却されるというわけ。

問題３　ある政治上の意見で、有権者１０人を任意抽出して意見を求めたところ７人までが賛成であった。これによって有権者の過半数であるといえるか。

また、１０人のうち９人まで賛成であったとするとどうか。

優位水準５％で検定せよ。

【解】

「有権者の賛成反対が五分五分」と仮定すると、１０人のうち７人以上が賛成する確率は

よって、「有権者の賛成反対が五分五分」という仮説は棄却できない。

したがって、「賛成が有権者の過半数」であるとは言えない。

同様に、１０人のうち９人が賛成である確率を求めると、

よって、「有権者の賛成反対が五分五分」という仮説は棄却できる。

したがって、この場合、過半数であるといえる。

（解答終了）

ちなみに、８人の場合

だから、「有権者の賛成反対が五分五分」という仮説は棄却できない。

問題４
（１）　さいころを４回振ったら１の目が３回出た。このさいころは１の目が出やすいと判断してよいか。危険率５％で検定せよ。

（２）　さいころを１８０回振ったら１の目が４８回出た。このさいころは１の目が出やすいと判断してよいか。危険率１％で検定せよ。

【解】

（１）　「さいころが正しい」と仮定すると、４回投げて１の目が３回以上出る確率は

よって、「さいころの目が正しい」という仮説は棄却される。

つまり、１の目が出やすい。

（２）　「さいころが正しい」と仮定する。Xを１の目が出た回数とすると、Xは二項分布に従うので、平均値m、標準偏差σは

nが大きいから、Xの分布は平均m=30、標準偏差σ=5の正規分布に近似できる。

そこで、

とおくと、Zは標準正規分布N(0,5)に従う。

X=46とおくと

したがって、

よって、「さいころが正しい」という仮説は棄却される。

したがって、「１の目が出やすい」。

（解答終了）

Xが正規分布N(30,5²）に従うとすると、１の目が出る回数は信頼度９９％で

出たとしても最大で約４３回。

４６回は多すぎるというわけ。

問題５　豌豆（えんどう）の交配で、黄色と緑色の豆のできる割合は、メンデルの法則に従えば３：１である。この実験で黄色が４２８個、緑色が１３２個得られたという。この結果はメンデルの法則に一致しているといえるか。優位水準５％で検定せよ。

【解】

メンデルの法則に従うという仮説を立てると、黄色のえんどう豆の個数Xは二項分布に従い、平均値mと標準偏差σは

したがって、

したがって、優位水準５％で「メンデルの法則に従う」という仮説は捨てられない。

すなわち、「メンデルの法則に従う」と考えられる。

（解答終了）