第６回 ガンマ関数入門

第６回　ガンマ関数入門

s>0に対して

は収束し、（１）式で定義される関数Γ(s)をガンマ関数という。

ガンマ関数の性質を調べることにする。

まず、s=1のときのガンマ関数の値を求めることにする。

また、次のガンマ関数

を部分積分すると、

したがって、s>0のとき

である。

特に、sが自然数nであるとき、（２）式から

このことから、ガンマ関数は階乗を拡張したものと考えることができる。

もし

と微分と積分の順序の交換が許されるのであれば（証明はしないが、事実、許される）、

だから、

となり、同様にn次導関数は

である。

特にn=2のとき、

となり、ガンマ関数Γ(s)は（下に）凸である。

さらに、（１）の変数をx=t²と変換すると、

よって

s=1/2のとき

である。

（２）式より

したがって、

そして、ここで

と定義すると、

となる。

２重階乗を使わず（４）式を書き換えると、

実関数としてのガンマ関数Γ(s)は、s>0で定義されるが、（２）式を

と書き換える、s=−1/2を代入すると、

と、ガンマ関数をs<0に拡張が可能である。

参考までに、s<0まで解析接続によって拡張されたガンマ関数Γ(s)とその逆数1/Γ(s)のグラフを以下に示す。

なお、下のグラフでは横軸にxをとっている。