第１９回 抜き取り検査

第１９回　抜き取り検査

問題１　極めて多数の製品の山がある。この製品の山の全体としての合格、不合格を、全体の中から５個抜き取って検査し、その５個中の不良品が１個以下ならば合格、２個以上ならば不合格と定めることにする。

不良率（不良品の個数と全体の個数との比）がpである製品の山が検査に合格する確率をf(p)とするとき、次の問いに答えよ。

（１）　f(p)をpの式であらわせ。

（２）　f(p)はpの減少関数であることを証明せよ。

（３）　を求めよ。

（４）　f(p)の概形をかけ。

【解】

（１）　合格するのは、不良品が0個、１個の場合だから、合格する確率は

（２）　f(p)を微分すると

 

0<p<1でf'(p)<0だから、f(p)は単調減少する。

（３）　①にp=0、0.3、1を代入すると

②にp=0、1を代入すると

（４）　下図

（解答終了）

問題２　ある試験で、出題３問中２題以上を正解すれば合格するという。各問を正解する確率がいずれもpである生徒が、この試験を受けるとき、

（１）　この生徒が合格する確率f(p)を求めよ。

（２）　f(p)+f(1−p)およびf(0.2)の値を求めよ、f(p)のグラフをかけ。

（３）　f(p)≧0.9になるようなpの最小値p₀を小数点第２位まで求めよ。

【解】

（１）　合格するのは、正解数が２の場合と３の場合だから、合格する確率は

（２）　

f(p)を微分すると

だから、0<p<1でf'(p)>0なのでf(p)は単調増加。

したがって、グラフは次のようになる。

（３）　グラフを見ると、p₀≒0.8っぽいね(^^ゞ

試しに計算してみると

そこで、とおくと、

h≒0だから、①のh²とh³の項は無視でき、①は次のように近似できる。

よって、

したがって、p₀=0.80

念のために

（解答終了）

ちなみに、

問題３　きわめて多数の製品の一山をロットという。同一個数の製品からなるロットがきわめて多数であるとき、これらのロットから大きさ５の標本を抜き取り、その中の不良品個数が０こであれば標本はもとに戻してそのロットはそのまま出荷し、不良品個数が１個以上であればそのロットは全数検査にかけロット中の不良品を全部良品にかえて出荷する。もとのロットの不良率がすべてpであるとした場合、出荷される全ロット中に含まれる製品の不良率f(p)はどうなるか。次の問に答えなさい。

（１）　p=0、p=1のときf(p)の値はそれぞれどうか。

（２）　f(p)をpの式であらわせ。

（３）　f(p)のグラフをかき、f(p)を最大にするpの値を示しなさい。

【解】

（１）　p=0のとき、製品はすべて良品なのでf(p)=0である。

p=1のとき、ロット全体が不良品でそれがすべて良品に取りかえられるので、f(p)=1である。

（２）　出荷される製品に不良品が含まれるのは、抜き取った５つすべてが良品である場合。

抜き出された５つがすべて良品である確率は。

このときpの割合で不良品が混じっているので、求める確率は

（３）　増減を調べるために、f(p)=p(1−p)⁵を微分すると

したがって、p=1/6のときに極大かつ最大で、その値は

また、

したがって、f(p)はp=1/3で変曲点を持ち、

 

（解答終了）