第８回 ベータ関数入門２ ベータ関数の重要な性質

第８回　ベータ関数入門２　ベータ関数の重要な性質

まず、ベータ関数の定義を与える。

定義

p>0、q>0に対して

で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、ベータ関数には次の重要な性質がある。

定理　ベータ関数B(p,q)は次の性質を満たす。

（１）　任意のp>0、q>0に対して

（２）　任意のp>0、q>0に対して

（３）　自然数m、nに対して

【証明】

（１）　t=1−xとおくと、x=0はt=1、x=1はt=0に対応し、

だから、（１）を置換積分すると、

（２）　1=x+(1−x)だから

である。

したがって、

0<s<t<1とおき、次の積分を部分積分すると

また

だから、

したがって、

（３）　（２）より

また、

だから、

（証明終了）

nを自然数とするとき、ガンマ関数には次の性質がある。

上の定理の（３）にこの関係を適用すると、

この関係が自然数m、nだけでなく、正の実数p、qに対して

が成立するかどうかだ。

定理　p>0、q>0に対して

である。

【証明】

したがって、

ここで、x=rcosθ、y=rsinθとおき極座標変換をすると、

となり、積分領域が

と変わるので、

【証明終了】

上記の定理中の

というベータ関数とガンマ関数の関係式は、定積分の計算に活用できる非常に便利で強力な公式である。

たとえば、

という定積分はベータ関数のp=4、q=5の場合だから、

と、積分の計算をすることなく、簡単な階乗の計算で定積分の値を求めることができる。

のみならず、ベータ関数を用いることにより

であることを簡単に証明できる。

m=1、n=1のとき

この公式は、大学入試の重要公式である。

ベータ関数

に対して

として置換積分を適用すると、

0<a<1とし、p=a、q=1−aとおくと

複素解析から右辺の広義積分は

したがって、

a=1/2を（４）に代入すると