第４回 広義積分の収束判定法２

第４回　広義積分の収束判定法２

定理４　区間(a,b]でf(x)は連続で、

（１）　0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は（絶対）収束する。

（２）　0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は収束する。

【証明】

（１）　仮定によってaの近傍a<x<a+δ（δ>0）で

となる正数Mが存在する。

したがって、

0<λ<1だから、

と収束し、定理２、定理３により広義積分は収束する。

（２）は略。

（証明終了）

定理５　区間[a,∞)においてf(x)は連続で、λ>1であるλに関してが有界ならば広義積分は収束する。

【証明】

仮定より、十分大きなxに関して

となる正の定数Mが存在する。

よって、

t>aとすると

λ>1のとき

と収束するので、広義積分は収束する。

（証明終了）

問題　次の問いに答えよ。

（１）　0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

（２）　0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

【解】

とする。

（１）　0<x≦1において

よって、定理４より広義積分は収束する。

（２）　x≧1で

また、x≧1では有界だからも有界。

したがって、定理５より広義積分は収束する。

（解答終了）

以上のことから、0<s<1のとき

は収束する。

無理やり定理４、定理５を使っている(^^ゞ

（１）は、次のように解くのがいいのでしょう。

【（１）の別解】

とおくと。

0<s<1のとき、x>0でf(x)は単調減少。

したがって、0<x≦1のとき

また、0<s<1より−1<s-1<0だから広義積分は収束する。

よって、広義積分は収束する。

（別解終了）

ここからは、s>0についての一般論。

s=1のときだから

s>1のとき、f(x)は閉区間[0,1]で連続だからは通常の積分でこの値は存在する。

したがって、の収束を議論すればよい。

をマクローリン展開すると

したがって、x≧0では

というこで、t>1とすると、s<nとなる正の整数nをとると、

n−s>0だから

したがって、広義積分は収束する。

以上のことから、s>0のとき

は収束する。

そして、これをガンマ関数という。

すこし議論が錯綜しておりますが(^^ゞ