第９回 ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用１

第９回　ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用１

この話をする前に、復習をかねて、ガンマ関数とベータ関数の重要な性質について記す。

ガンマ関数とベータ関数の定義

ガンマ関数の重要な性質と値

ベータ関数とガンマ関数の関係

上記のガンマ関数とベータ関数の性質を使って、実際に、定積分の値を求めることにする。

問１　ベータ関数とガンマ関数を使い、次のことを証明せよ。

【考え方と解】

問の積分をベータ関数に帰着させるために、

とおき、置換積分を施す。

このとき、

そして、積分区間の限界については、x=0のときt=0、x=βのときt=1になる。

また、

これで準備はすべて整った。

これを使って、（１）、（２）、（３）の計算をすることにする。

（１）

そして、

とベータ関数に帰着させることができる。

だから、

（２）

そして、

したがって、

（３）

（考え方と解終了）

（１）と（２）ならば、

と計算したほうが速いけれど、ガンマ関数とベータ関数の定積分の計算への応用のコツをつかむために、あえてこのように計算した。

問２　次の広義積分の値を求めよ。

【解】

この積分をベータ関数に帰着させるために、とおくと、p=q=1/2になるので、

（解答終了）