2017年2月10日金曜日

第15回 ベータ関数、ガンマ関数の問題2

第15回 ベータ関数、ガンマ関数の問題2


問題1
から次のことを導け。
(1) 
(2) 
ただし、
(3)
【解】
(1) p=1/2q=1/2として代入すると
また、
ここで、x=sin²tとおき置換積分すると
したがって、

(2)

(3) ベータ関数の三角関数表示は
nが偶数のとき、n=2mm=1,2,・・・)とおくと
n=3,5,・・・のとき、n=2m+1m=1,2,・・・)とおくと
(解答終了)


問題2 次の問いに答えよ。
(1) 次の等式が成り立つことを示せ。
(2) t=4x(1−x)と変換することによって、次を導け。
(3) 次の等式が成立することを示せ。
【解】
(1)
x=1−tとおき、右辺第2項を置換積分すると、
よって、

(2) t=4x(1−x)とおくと、x=0のときt=0x=1/2のときt=1
x²−x+t/4=0を解くと
x=0のときt=0x=1/2のときt=1 という条件を満たすのは
だから、
よって、
したがって、

(3)
(解答終了)


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