広義積分と複素積分をもちいて定積分を計算

広義積分と複素積分を使って次の定積分の値を計算することにする。

問題　次の積分の値を求めよ。

【解】

まず、

の不定積分を求めることにしよう。

とおくと

になるから

不定積分は求まった。

ここで、

と分解。

u=θ−2πとして、右辺第２項の積分を置換積分すると、θ=πのときu=−π、θ=2πのときu=0、さらに、dθ=duとなるので、

ということで、ε>0として

（解答終了）

不定積分を用いてこの定積分の値を求めようとすると、広義積分になってしまう。

【別解】

（解答終了）

微分積分の範囲で解けてしまったね。

【別解２】

とすると、これはガウス平面（複素平面）の単位円｜z｜=1となり、さらに

となるので、

z²+4iz−1=0の解をα、βとすると

したがって、単位円｜z｜=1の内部にある極はαのみとなり、その留数を求めると

留数定理より

（別解２終了）