第１４回 広義積分の問題２

第１４回　広義積分の問題２

問題１　次の広義積分の値を求めよ。

【解】

（１）

（２）

（３）　x=sin²θ（0≦θ≦π/2）とおくと

x=0のときθ=0、x=1のときθ=π/2。

よって、

（４）　t=x²とおくと

よって、

ここで、

とおき、n≧1に対して部分積分を用いると、

したがって、

I₀は

だから、

したがって、

（解答終了）

ベータ関数、ガンマ関数を用いると（３）と（４）は次のように解くことができる。

【別解】

（解答終了）

問題２　f(x)が[0,∞)で連続であるとき、次のことを示せ。

（１）　f(x)が有界であるならば、は絶対収束する。

（２）　f(x)が非負かつ単調減少でが収束するならば、である。

【解】

（１）　f(x)は有界だから、[0,∞)において

となる定数Mが存在する。

したがって、[0,∞)において

したがって、絶対収束する。

（２）　と仮定すると、[0,∞)においてf(x)≧c。

となり、は発散する。

が収束することと矛盾するので、である。

（解答終了）

無限級数の場合、が収束するならばは成立するが、

広義積分の場合、が収束するならばという命題は必ずしも成立しないので注意。