第５８回 留数定理の定積分への応用 問題編３

第５８回　留数定理の定積分への応用　問題編３

タイプⅢ　

f(z)は複素平面の上半平面Imz≧0で有限個の極を除いて正則であり、またはとする。

このとき、

f(x)が偶関数のとき

f(x)が奇関数のとき

問題１　次の定積分を求めよ。

【解】

とおくと、f(z)は偶関数、

で、上半平面にもつ極は１位の極z=iaのみ。

留数を求めると、

したがって、（２）より

（解答終了）

この問題は、上の公式を使わずとも、次のように計算することができる。

【別解】

とおく。

だから

だから、

右の図の積分路に沿って積分をすると、積分経路内にある極はz=iaだから、留数は

したがって留数定理より

また

だから、

（別解終）

問題２　a>0、b>0のとき、次の定積分の値を求めよ。

【解】

（１）

とおくと、f(z)は奇関数で、上半平面に１位の極z=iaをもつ。

また、

留数を求めると、

したがって、（３）より

（２）　

とおくと、これは奇関数。

また上半平面に２位の極z=iaをもち

したがって、留数は

（３）式より

（解答終了）