第１２回 ラプラス変換入門１

第１２回　ラプラス変換入門１

ラプラス変換の定義

f(t)は[0,∞)で不定積分を持つとする。

広義積分

が存在する実数sに対して

とおくとき、このF(s)をラプラス変換といい、記号でであらわす。

また、であるとき、F(s)からf(x)への対応をラプラス逆変換といい、

であらわす。

また、このとき、f(t)を原関数、F(s)を像関数という。

問１　次の関数をラプラス変換せよ。

【解】

（１）

（２）

したがって、

（３）

（解答終了）

上記の記号

のことで、例えば、（１）の場合、

である。

問２　次の等式が成り立つことを示せ。

【解】

st=xとおくと、t=0のときx=0、t→∞のときx∞、そして、dt=dx/sだから、

また、α=nのとき、

だから、

（解答終了）

なのですが、代表的な関数のラプラス変換は、ラプラス変換表という表になっているので、実際は計算する必要がなく、ラプラス変換表を見ればよい。

代表的な関数のラプラス変換を以下に示す。

f(t)	F(s)
1
t

定理（ラプラス変換の線形性）

[0,∞)で連続な関数f(x)、g(x)がs>αでラプラス変換可能であるとする。このとき、a、bを実数とすれば、s>αに対して

である。

【証明】

（証明終了）