2017年2月3日金曜日

第11回 ガンマ関数、ベータ関数の問題1

第11回 ガンマ関数、ベータ関数の問題1


問題1 p>0q>0のとき、次の広義積分をガンマ関数であらわせ。
【解】
とおくと
x=1にはt=0x=∞にはt=∞が対応するから
ここで、さらにu=ptとおくと
だから、
(解答終了)


問題2 ガンマ関数、ベータ関数を用いて次の値を求めよ。
【解】
(1) 2p−1=32q−1=4を解くと、p=2q=5/2
したがって、

(2) 2p−1=62q−1=4を解くと、p=7/2q=5/2
したがって、
で、
よって、
(解答終了)


問題3 次の値を求めよ。
【解】
(1) とおくととなり、x=1には0x→∞にはt→1が対応する。
したがって
p−1=5/2q−1=1/2を解くと、p=5/2q=3/2だから
ここで、
故に

(2) t=√xとおくと、x=0にはt=0x=1にはt=1が対応し、
したがって、
p−1=1q−1=−1/2を解くと、p=2q=1/2
(計算終了)


問題4 次の等式を証明せよ。
【解】
とおくと、x=2t−1
x=−1のときx=0x=1のときt=1、そして、dx=2tだから
(解答終了)

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