広義積分のおまけ

広義積分のおまけ

問題１　次の等式を証明せよ。

【解】

t=tanxとおくと

だから

また、

そして、積分区間の限界はx=0のときt=0、x→π/2+0のときt→+∞だから

（解答終了）

こう解けば、複素積分や留数定理を使わずに、実積分の広義積分としてこの値を求めることができる。

ちなみに

は、sin²x+cos²x=1をcos²xで割ると

から出てくる。

これで終わると、手抜き呼ばわりされるかもしれないので、もうひとつ広義積分の問題を解くことにする。

問題２　次の積分の値を求めよ

【解】

と部分分数に分解する。

この不定積分は次のように求められる。

したがって、

（解答終了）

すこし補足説明すると、

また、

そして、問題１、２とも積分公式

を使っている。

どこから、x²+2x+1が出てきたかですが、これは

だから、

この程度の積分ならば、実積分、つまり、微分積分の範囲で解くことができるという話です。

なお、昨日紹介した複素積分による手法で問題２の積分の値は求められないので、この点は注意すること。