第５６回 留数定理のの定積分への応用の問題編１

第５６回　留数定理のの定積分への応用の問題編１

定理（留数定理）

関数f(z)が単一閉曲線Cを境界とする領域に有限個の孤立特異点を持ち、これら以外では境界Cも含めて正則であるとき、

タイプⅠ　
ここでf(X,Y)はX,Yの有理関数。

と置くと、

となり、[0,2π]は単位円周｜z｜=1に移るから、

問題１　次の定積分の値を求めよ。

【解】

とおくと

さらに

よって、

ここで、

とおくと、f(z)は単位円|z|=1の内部にz=1/2を１位の極として持つ。

したがって、留数は

留数定理より

だから、

（解答終了）

問題２　次の定積分を求めよ。

【解】

Iはx=πに関して対称だから

である。

とおくと

さらに

だから、

ここで、

とおくと、f(z)の極はz=1/a、z=a。

したがって、f(z)の留数は

｜a｜<1のとき、単位円｜z｜=1の極はz=aのみだから

留数定理より

｜a｜>1のとき、単位円｜z｜=1の極はz=1/aのみだから

この２つの結果をまとめて

（解答終了）

問題３　0<r<Rとするとき、

を求めよ。

【解】

0<a=r/R<1とおき、問題２の結果を使うと

（解答終了）

問題４

【解】

a=bのとき

a≠bのとき

三角関数の倍角公式より

したがって、

したがて、

ここで、t=2θとおくと、θ=0のときt=0、θ=πのときt=2π、さらにdt=2dθだから

ここで、a²+b²=α、a²−b²=βとおくと

となり

（解答終了）

は、第５３回で求めてあるので、そちらを参照。

問題４は、とおいて解くのが一般的だろうが、こうすれば実積分として積分の値を求めることができる。