第２回 三角形の合同条件

第２回　三角形の合同条件

小中学校で、次の３つの三角形の合同条件を習ったと思う。

今回は、前回、導入した公理に基づいた証明を紹介する。

定理６　三角形の合同条件

（１）　２辺と挟角相等
（２）　１辺と両端の角相等

（３）　３辺相等

【証明】

（１）　△ABCと△A’B’C’において、AB=A’B’、AC=A’C’、∠A=∠A’とする。

△A'B'C'を移動させ、AとA’が一致するように、半直線ABとA'B’を重ねる。

AB=A'B'だから、BとB'は重なる。

また、∠A=∠A’だから、半直線ACとA’C’も重なり、AC=A'C'だから、CとC’は重なる。

２点B（B'）とC（C'）を通る直線は１本なので、BCとB'C'は重なる。

よって、

△ABC≡△A’B'C'

（２）　△ABC、△A’B’C’において、BC=B’C’、∠B=∠B’、∠C=∠C’とする。

BC=B’C’であるから、△A’B’C’を移動してB’をB、C’をCに重ねると、辺B’C’と辺BCに重なる。

∠B=∠B’、∠C=∠C’であるから、B’A’とBAが重なり、C’A’もCAに重なる。

２直線の共有点は１だけだから、A’とAは重なる。

よって、△ABC≡△A’B’C’である。

（証明終わり）

（３）のの証明のために次の定理を証明する。

定理７　二等辺三角形の底角は等しい。

【証明】

△ABCを裏返して、A、B、CがA’B’C’になったとする。

図形を裏返しにしても形や大きさは変わらないから△ABCと△A’C’B’において

AB=AC=AC’

AC=AB=A’B’

∠BAC=∠C’A’B’

よって、△ABC≡△A’C’B’　（二辺挟角相等）

∴　∠ABC=∠A’C’B’=∠ACB

（証明終わり）

そして、この定理７を用いて、定理６の（３）を証明することにする。

定理６の（３）の証明

BC=B'C'だから、△A'B'C'を移動してB’とB、C'とCとを重ねると、辺B'C'と辺BCは重なる。

そこで、A'が直線BCに関してAと反対側にくる点をDとする。

△BDAはBD=BAの二等辺三角形なので、∠BDA=∠BAD。

また、△CADもCA=CDの二等辺三角形なので、∠CAD＝∠CDA。

よって、∠BAD=∠BDA。

定理６の（１）の２辺挟角相等より、△ABC≡△DBC。

∴　△ABC≡△A'B'C'

（証明終）

問題　「AB＝A'B'、AC=AC'、∠ABC＝∠A'B'C'ならば△ABC≡△A'B'C'である」は正しいか。

【解】

反例として、次の三角形を上げれば十分でしょう。

つまり、正しくない。

（解答終）