微分方程式の解法のまとめ３（演算子法）

微分方程式の解法のまとめ３（演算子法）

定数係数のn階非同次線形微分方程式

は、次の微分演算子

を用いると、形式的に

となる。

さらに、微分演算子Dの多項式を

とおけば、定数係数のn階非同次線形微分方程式は

と表される。

そこで、を満たす関数yを

と定義する。

すると、

であるから、定義から

となる。

また、次の定理が成り立つことも明らかであろう。

定理（線形性）　α、βを定数とするとき、

である。

基本公式

さらに、φ(D)の逆演算子に関しては次の公式が成り立つ。

特に、φがD²の多項式、すなわち、φ(D²)のとき

問　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）　特性方程式φ(r)は

だから、右辺を０とした同次方程式の一般解y₁は

微分方程式より、特殊解y₀は

したがって、この微分方程式の解は

（２）　特性方程式は

よって、同次方程式の一般解は

特殊解は

したがって、この微分方程式の一般解は

（３）　特性方程式は

したがって、同次方程式の一般解は

非同次方程式(D²+4)y=sinxより、特殊解は

ここで、とおくと、公式(4')より

よって、一般解は

（４）　特性方程式は

よって、同次方程式の一般解は

特殊解は

したがって、一般解は

（解答終）

（４）は

と計算してもよいのだろう、たぶん(^^ゞ

このように計算すると、特殊解は

となる。