第４回 直交軸の変換とクロネッカーのデルタ

第４回　直交軸の変換とクロネッカーのデルタ

§１　直交軸の変換

直交座標を表すのに、x、y、zのかわりに、x¹、x²、x³を用い、x¹、x²、x³軸の基本ベクトルをそれぞれe₁、e₂、e₃とする。

直交軸Ox¹、Ox²、Ox³を他の直交軸Ox’¹、Ox’²、Ox’³に変える場合を考える。

このとき、x¹軸、x²軸、x³軸に対する基本ベクトルをe₁、e₂、e₃とし、x’¹軸、x’²軸、x’³軸に対する基本ベクトルをe’₁、e’₂、e’₃とする。さらに、点Pのx¹軸、x²軸、x³軸に対する座標をx¹、x²、x³とし、x’¹軸、x’²軸、x’³軸に対する座標をx’¹、x’²、x’³とする。

x¹軸、x²軸、x³軸に対するx’¹軸、x’²軸、x’³軸の方向余弦、つまり、e’₁、e’₂、e’₃の方向余弦は、それぞれ次のようになる。

逆に、x’¹軸、x’²軸、x’³軸に対するx¹軸、x²軸、x³軸の方向余弦、つまり、e₁、e₂、e₃の方向余弦は

となる。

したがって、

また、

（１）から（２）を、（２）から（１）を直接導くことができる。

となるので、e’₁のx¹軸、x²軸、x³軸に対する方向余弦をl₁、m₁、n₁とすると、

よって、

だから、

となり、

同様に、

となる。

（１）と（２）のように、いちいち、成分に分けて書くのは面倒なので、

とまとめて書くことにする。

さらに、直交軸が（１）のように変換されるとき、点の座標の変化を調べることにする。

点Pのx¹軸、x²軸、x³軸に対する座標をx¹、x²、x³、また、x’¹軸、x²軸、x’³軸に対する座標をx’¹、x’²、x’³とすると、

（３）式から

また、

だから、

つまり、

となる。

§２　クロネッカーのデルタ

i、jがそれぞれ１、２、３の値をとるとき、９個の数を

と定義したものをクロネッカーのデルタという。

つまり、

このクロネッカーのデルタを用いると、

で。同様に、

である。

したがって、

となり、同様に

が成立する。

なお、クロネッカーのデルタを

と表記する場合もある。

問題　直交軸の変換公式

の係数に対して

であることを証明せよ。

【解】

基本単位ベクトルe₁、e₂、e₃は互いに垂直で大きさが１なので

だから、

である。

で、x’¹、x’²、x’³に対するの成分（方向余弦）は

だから

となる。

よって、

となる。

で、

だから、

また、

だから、

（証明終）

なお、

はとても重要な性質です。