第１３回 テンソルの特性方程式、内積など

第１３回　テンソルの特性方程式、内積など

§１　テンソルの特性方程式

空間内に設定された直交座標系O-x₁x₂x₃に関するテンソルTの成分をとする。Eを単位行列とすると、行列式

はλについての３次の多項式になる。

他の座標系O-x'₁x'₂x'₃に関するテンソルTの成分をとし、

とおく。

すると、

だから、これを上式に代入すると、

したがって、テンソルTの成分の成分で作ったF(λ)は使用する直交座標系には無関係で、テンソルTによってのみ定まる。そして、このF(λ)をテンソルTの特性方程式という。したがって、次の３次方程式

の３つの解をλ₁、λ₂、λ₃とすれば、これらは直交座標系には無関係で、テンソルTによってのみ定まる。このλ₁、λ₂、λ₃をテンソルTの固有値、F(λ)=0をテンソルTの特性方程式（固有方程式）という。

F(λ)=0を展開すると、

３次方程式の解と係数の関係より、

特性方程式F(λ)=0の３つの解λ₁、λ₂、λ₃は使用する直交座標系とは無関係でテンソルTのみによって決定されるので、上の３つの式の左辺は使用する直交座標系とは無関係でテンソルTのみによって決まる不変量である。

この３つの内、

は、それぞれ、テンソルTのトレース、行列式と呼ばれる。

§２　テンソルの内積

２つのテンソルS、Tの直交座表系O-x₁x₂x₃における成分をそれぞれとするとき、

をテンソルSとTの内積といい、記号S・Tであらわす。

すなわち、

である。

ただ、テンソルの内積S・Tに意味を持たせるには、直交座標系によってこの値が変わらないことを示す必要がある。

そこで、O-x'₁x'₂x'₃に関するテンソルS、Tの成分をとすると、テンソルの成分の変換硬式から

したがって、

ここで、

だから、

よって、

つまり、

は、使用する直角座標系に無関係でテンソルSとTによってのみ決定される。

ここで、

である。

特に、S=Tのとき、

よって、テンソルTの長さを

と定義することができる。

テンソルの長さの定義より、

となるテンソルTは零テンソルのみである。